Папоротник
Папоротник

Фракталы – это объекты, части которых подобны целому. Например, ветка дерева подобна дереву, а каждый лист папоротника подобен ветке. Если снять с обычной капусты или луковицы несколько листов, то останется такое же растение, лишь уменьшится его размер. Но, пожалуй, самым интересным растением-фракталом является румынская капуста или капуста Романеско.

Выдающийся японский художник-иллюстратор Кацусика Хокусай (1760–1849) увидел фрактальные элементы в природных явлениях задолго до возникновения теории фракталов.

Интересным примером фрактала является так называемая кривая Коха или снежинка Коха. Она была построена в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870–1924). Строится эта кривая просто, но в результате выходит довольно причудливый объект.

Капуста Романеско
Капуста Романеско

Возьмём обычный равносторонний треугольник. На первом шаге разделим каждую сторону на три равные части, выбросим средний отрезок, вместо него построим два отрезка такой же длины, которые направлены вовне фигуры и касаются друг друга. В результате получим звезду Давида. И так далее, на каждом шаге среднюю часть каждого из отрезков периметра меняем на два такие же отрезка.

Оказывается, что если число шагов при построении кривой стремится к бесконечности, то площадь, ограниченная кривой, стремится к конечной величине, но периметр стремится к бесконечности. (Математики-современники Коха были этим настолько удивлены, что назвали кривую математическим уродцем.)

Показать это достаточно просто. Пусть p – периметр исходного треугольника. Заметим, что на каждом шаге исчезает отрезок, длина которого равна трети длины каждой стороны периметра, но вместо него добавляется два таких же отрезка.

Иллюстрации Кацусики Хокусай
Иллюстрации Кацусики Хокусай

Таким образом, на каждом шаге периметр фигуры множится на 4/3, и на n-м шаге периметр фигуры составляет fractals f01. Поскольку fractals f02, то P(n) стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности.

Покажем теперь, что площадь фигуры стремится к конечной величине. Вспомним простой факт из геометрии, что отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов их любых соответствующих линейных элементов.

Например, если сторону равностороннего треугольника уменьшить в 3 раза, то его площадь уменьшится в 32=9 раз. Пусть площадь исходного треугольника равна S. На первом шаге к фигуре прибавляется 3 треугольника, площадь каждого из которых равна S/9.

На каждом следующем шаге количество треугольников, добавляющихся к фигуре, возрастает в 4 раза, а площадь каждого треугольника уменьшается в 9 раз. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой фон Коха, равна

fractals f03.

Хельге фон Кох
Хельге фон Кох

Заметим, что в квадратных скобках стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем fractals f04, и её сумма равна fractals f05.

Ерик Хайнес, современный специалист в области компьютерной графики и дизайна, построил трёхмерный аналог снежинки фон Коха.

Основателем математической теории фракталов является французский и американский математик Бенуа Мандельброт (1924–2010). Именно он ввёл в употребление термин "фрактал" от латинского слова fractus (ломанный).

Этот неординарный человек родился в Варшаве, потом его семья переехала в Париж, где он окончил Политехническую школу – знаменитое учебное заведение для подготовки инженеров, основанное ещё в 1794 году.

В ходе обучения в Политехнической школе обнаружилось, что Мандельброт обладает феноменальным пространственным воображением – даже для чисто алгебраических задач он находил геометрическую интерпретацию. Спасаясь от преследований нацистов, Мандельброт переезжает в США, где получает второе высшее образование в Калифорнийском технологическом институте.

Снежинка Коха
Снежинка Коха

С 1958 года Мандельброт работает в научно-исследовательском центре IBM. При создании персональных компьютеров одной из ключевых проблем было подавление шумов в проводах. Мандельброт заметил, что графики шумов за день, час и даже секунду идентичны, и это стало ключевой догадкой, которая помогла решить проблему.

Вместе с этим Мандельброт начинает изучать экономические процессы и замечает, что там также имеют место колебания, графики которых аналогичны графикам шумов в проводах. Он выяснил, что произвольные внешние колебания цены следуют скрытому математическому порядку, который нельзя описать при помощи стандартных математических кривых.

В рамках своих экономических исследований Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок на протяжении длительного периода (более 100 лет). Мандельброт обнаружил похожесть кратковременных колебаний и колебаний на длительных интервалах времени. Это открытие оказалось неожиданным для экономистов.

Трёхмерный аналог снежинки фон Коха
Трёхмерный аналог
снежинки фон Коха

По сути, Мандельброт применил основы своего рекурсивного (фрактального) метода.

Следует заметить, что Мандельброт исследовал преимущественно геометрические свойства случайных колебаний, а их строгое математическое обоснование дал другой выдающийся математик – Норберт Винер (1894–1964), который считается основателем кибернетики и теории искусственного интеллекта.

Математическая модель шумов, которые с разных сторон исследовали Винер и Мандельброт, называется винеровским процессом; он является составной частью современной теории вероятностей и математической экономики.

Другое интересное исследование, которое проводил Мандельброт и о котором стоит рассказать, – это проблема измерения береговой линии. Эта проблема оказалась совсем не банальной, как может показаться на первый взгляд.

В 1967 году в журнале Science Мандельброт публикует статью под названием «Какова длина побережья Великобритании». Казалось бы, всё очень просто – чтобы измерить длину побережья, нужно на карте вдоль периметра страны отложить отрезки, отвечающие определённым длинам (например, 100 км), а потом эту единичную величину умножить на количество отрезков, отложенных вдоль периметра (см. рисунок).

Бенуа Мандельброт
Бенуа Мандельброт

Но оказалось, что результат измерения существенно зависит от того, какую длину отрезка выбрать в качестве единицы измерения. Так, при длине отрезка в 200 км длина побережья оказалась равной 2400 км, при длине отрезка 100 км – 2800, а при длине отрезка 50 км суммирование отрезков даёт длину побережья 3400 км.

Результаты измерений сильно отличаются, и незначительными ошибками это назвать никак нельзя. Мандельброт приходит к выводу, что говорить о длине побережья в обычном понимании нет смысла, и что есть кривые, которые имеют дробную (фрактальную) размерность, т.е. больше, чем единица (как у линии), и меньше двух (как у плоскости). Например, снежинка Коха имеет фрактальную размерность log34≈1,262.

Винеровский процесс
Винеровский процесс
Измерение длины береговой линии Великобритании
Измерение длины береговой линии Великобритании отрезками 200 км, 100 км и 50 км
Натан Коэн
Натан Коэн

Завершая рассказ о Бенуа Мандельброте, приведём несколько его высказываний:

– Основная идея состоит в том, что когда вы приближаете фрактальный объект к себе, он продолжает выглядеть по-прежнему.

– Во всей математике гладкость – вот что было главным. Я же предложил изучать неровности и шероховатости.

– Математика описывает гладкий мир, построенный человеком. А шероховатый мир, созданный природой, оказался за пределами нашей математики.

– Математики пишут формулы, я же всю жизнь рассматривал картинки.

Рассказывая о фракталах, стоит вспомнить их важное применение – фрактальные антенны и их изобретателя – Натана Коэна. История его изобретения, изменившая его биографию, довольно забавная.

Он жил в Бостоне, работал в должности профессора в Бостонском университете, областью его научных интересов были астрономия и астрофизика. Но кроме того он был радиолюбителем и на крыше его дома стояла большая антенна.

Эволюция мобильных телефонов. Внешняя антенна постепенно исчезает превращается в ковёр Серпинского
Эволюция мобильных телефонов. Внешняя антенна постепенно исчезает превращается в ковёр Серпинского
Забавные примеры фракталов
Забавные примеры фракталов

В 1988 году городские власти заставили его и других жителей убрать с крыш большие антенны, поскольку те портили внешний вид центра города. Коэн был сильно огорчён и в отчаянии заменил большую и дорогую антенну на небольшой кусок проволоки, который согнул в форму, подобную снежинке Коха. И вдруг обнаружилось, что такая примитивная антенна работает не хуже той, что была раньше!

Заинтересовавшись этим, Коэн меняет направление своих научных интересов и через несколько лет ставит дело на коммерческую основу – в 1995 году он основывает компанию Fractal antenna systems.

Наряду с разработкой внешних антенн небольших размеров, компания начинает заниматься разработкой антенн для мобильных телефонов. Изначально мобильные телефоны (равно как и радиотелефоны) были громоздкими, к тому же из них торчали внешние антенны.

Идеи Натана Коэна позволили спрятать антенну внутрь телефона. При этом элементы микросхемы, расположенные на плате, имеют форму фрактальной фигуры, называемой «ковёр Серпинского».

Фракталы также применяются в современной рекламе и дизайне. Теория фракталов в сочетании с возможностями современной компьютерной графики открывают безграничные возможности для креатива, иногда весьма забавного.

Тем, кто заинтересовался фракталами, автор советует посмотреть фильм «Фракталы. Поиски новых размерностей» (он есть на youtube.com), или просто посмотреть причудливые фрактальные картинки, для этого нужно лишь зайти в google-картинки и в поисковой строке набрать «fractals».

С.И. Доценко, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник факультета компьютерных наук и кибернетики КНУ имени Тараса Шевченко