Эстетика, симметрия и геометрия окружности. Научно-популярный журнал для юношества «Страна знаний» №8, 2019

Но ум мерит и символически, путём
сравнения, как тогда, когда он пользуется
числом и геометрическими фигурами и
ссылается на них как на подобия.

Н.Кузанский, цитируется по «Игре в бисер» Г. Гессе

Мы расскажем о новом взгляде на окружность и инверсию, проясняющем важные математические понятия и открывающем алгоритмы для построения изящных образов. Подробно эти идеи изложены в книге «Эстетическая геометрия или теория симметрий» [4], здесь мы дадим их короткий очерк.

В первой части мы покажем, как понимается в эстетической геометрии окружность и инверсия, а во второй – применение этих идей для моделирования неевклидовых геометрий и эстетики.

Часть I. Окружность без циркуля

Особенность нашего понимания окружности и инверсии в том, что в эстетической геометрии поломаны и циркули, и линейки (мы не можем проводить прямые и измерять расстояния). Как же тогда понимать окружность и инверсию?

Мы предлагаем взглянуть на окружность не как на множество точек, равноудалённых от данной, а как на промежуточную фигуру между точкой и прямой: очень маленькая окружность неотличима от точки, очень большая – от прямой (если мы находимся вблизи неё). При этом окружность однозначно определяется тремя точками на ней, и, взамен циркуля и линейки, мы умеем проводить окружность через любые три точки. Кроме того, каждая окружность задаёт симметрию.

Симметрия между окружностями называется инверсией, инверсия традиционно[1] определяется соотношением расстояний между образом и прообразом точки или проведением хорды, касательных и перпендикуляров.

Мы же трактуем симметрию между окружностями как основное, неопределяемое понятие, в духе книги Бахмана «Построение геометрии на основании понятия симметрии» [3], но, в отличие от него, рассматриваем симметрию не относительно прямой, а относительно окружности.

Такое понимание окружности и инверсии мы и называем «эстетической геометрией». В евклидовой геометрии симметрия редко упрощает доказательства геометрических теорем, в эстетической геометрии симметрия – основной метод доказательства.

Поскольку, как было сказано, циркули и линейки в ней не работают – надо научиться осуществлять симметрию относительно окружности используя только сами окружности, как это делается, будет объяснено позднее, а сейчас мы приведём примеры теорем.

Две теоремы

Приведём без доказательств, их можно найти в [4], две яркие теоремы геометрии окружности.

Теорема о шести точках касания и четырёх окружностях:

Пусть даны четыре касающиеся друг друга окружности A, B, C, D. Обозначим шесть точек их касания через P, Q, S, F, T, E. (рис. 1) При этом, на каждой окружности лежат три точки касания, в которых данная окружность касается трёх оставшихся, а три оставшиеся из шести точек – не лежат на данной окружности. Проведём окружность A’ через три точки касания, не лежащие на A, проведём окружность B’ через три точки, не лежащие на B, аналогично проведем C’ и D’ через точки, не лежащие на С и D. Теорема утверждает, что построенные окружности A’, B’, C’, D’ – также обязательно касаются друг друга (рис. 2.)

Рис. 1
Рис. 1. Теорема о шести точках касания и четырёх окружностях
Рис. 2
Рис. 2. Теорема о шести точках касания и четырёх окружностях

Доказательства смотри в [7].

Теорема о серединной окружности и лепестках

Рис. 3
Рис. 3. Теорема о серединной окружности
и лепестках

Пусть окружность A лежит внутри окружности B, и мы проводим семейство окружностей (лепестков), касающихся A, B и друг друга по цепочке, как это показано на рис. 3. Тогда, утверждает теорема, точки касания лепестков между собой сами обязательно лежат на одной окружности, относительно которой A и B симметричны.

Главная идея доказательства: допустим, что существует окружность I, относительно которой A и B симметричны, она лежит между A и B. Из соображений непрерывности естественно ожидать, что любая окружность, касающаяся A и B так, как это показано на рис. 3, при симметрии относительно I перейдёт в себя. Значит, каждый лепесток перейдёт в себя. Но тогда точки касания лепестков также перейдут в себя. Следовательно, они все лежат на I, что и требовалось доказать.

Перпендикулярные окружности и инверсия без линеек и циркуля

Две различные окружности X и Y мы называем перпендикулярными[2], если при симметрии относительно одной из них вторая переходит в себя: X(Y)=Y, Y(X)=X. При этом, точки при симметрии окружности относительно перпендикулярной ей меняются местами, но окружность в целом остаётся неподвижной. Точно так же происходит при симметрии прямой относительно перпендикулярной ей.

Рис. 4
Рис. 4.
Рис. 5
Рис. 5.
Рис. 6
Рис. 6.

Основное свойство перпендикулярных окружностей: если точки A и B симметричны относительно окружности I, то любая окружность, проходящая через A и B, перпендикулярна I. Приведенные на рис. 4 окружности P, Q, S перпендикулярны I.

Отсюда сразу следует первая теорема эстетической геометрии: если пара точек A и C симметрична точкам B и D, то все четыре точки лежат на одной окружности. Доказательство: по основному свойству окружность, проходящая через A, C, B=I(A) перпендикулярна I, следовательно D=I(B) лежит на ней, что и требовалось доказать (рис. 5).

Определив перпендикулярные окружности, вернёмся к теореме о шести точках касания четырёх окружностей. Оказывается, эти шесть точек обязательно являются шестью точками пересечения трёх взаимно перпендикулярных окружностей. И обратно: шесть точек пересечения трёх взаимно перпендикулярных окружностей всегда можно сгруппировать так, чтобы они стали точками касания четырёх взаимно касающихся окружностей. Именно так проще всего построить четыре касающиеся друг друга окружности.

Первая теорема позволяет строить симметрию между окружностями, не используя линейку и циркуль. Пусть нам известны две пары симметричных точек (A, I(A)) и (B, I(B)). Образ произвольной точки X, это вторая точка пересечения окружности, проходящей через X, A и I(A) с окружностью, проходящей через X, B, I(B), рис. 6. Это следует из того, что обе окружности по основному свойству переходят в себя при симметрии I, следовательно, точки их пересечения либо неподвижны, либо меняются местами, в невозможности первого легко убедиться.

Это, пожалуй, первый пример того, где геометрия окружности проще геометрии прямых, ведь аналогичных простых построений для симметрии относительно прямой не существует.

Заметим, что мы не нашли окружность I, относительно которой осуществляется симметрия I, хотя и научились находить образы точек. Сама окружность I – множество точек, неподвижных под действием симметрии, следовательно, её можно найти[3] как множество точек, в которых касаются окружности, проведенные через точки (A, I(A)) и (B, I(B)).

Тем самым доказано, что это множество точек касания является окружностью. Симметрия окружностей, построенная на рис. 6, позволяет доказать несколько теорем об окружностях и точках на них, см. [4].

Здесь показана симметрия (инверсия) точки P относительно окружности I. Как это сделать, не проводя прямых и не меряя длин (что требуют классические определения инверсии)?

Возьмём произвольные точки на I – A, B, C, D. Их можно разбить на пары тремя способами (A, B) и (C, D), (A, C) и (B, D), (A, D) и (В, C). Проведём через P и первые пары точек две окружности, как показано на рис. 7. Получим в их пересечении новую точку S. Теперь проведём через S и вторые пары точек две окружности, получим точку T, наконец, сделаем то же самое с точкой T, проведём через неё и третьи пары точек две окружности[4] и получим точку Q.

Рис. 7
Рис. 7.

Главная идея доказательства: как показано ранее, каждому разбиению точек A, B, C, D отвечает симметрия между окружностями, обозначим эти симметрии I1, I2, I3. Легко видеть, что их композиция, I3◦I2◦I1 оставляет неподвижными исходные точки A, B, C, D. Известно, что в таком случае вся окружность I остаётся неподвижной, и I3◦I2◦I1 может быть только либо инверсией относительно I, либо тождественным, ничего не меняющим преобразованием.

Последнее невозможно, что видно из чертежа. Следовательно, Q=I(P), как бы ни были выбраны точки A, B, C, D на I, что и требовалось. Таким образом, мы используем перестановки четырёх точек A, B, C, D для доказательства наглядной геометрической теоремы.

Часть 2. Применение эстетической геометрии

В первой части было рассказано о понимании окружности и инверсии в мире поломанных линеек и циркулей, где царствует симметрия между окружностями. Диаграмма показывает, где работают эти методы; мы уже двигались по верхней левой стрелке и немного по средней правой, когда использовали перестановки четырёх элементов для построения инверсии относительно окружности. Теперь мы двинемся по верхней правой стрелке, а затем – по нижней левой.

Диаграмма применения эстетической геометрии
Диаграмма применения эстетической геометрии

Моделирование неевклидовых геометрий

Рассмотрим три взаимно пересекающиеся окружности A, B, C. Возможны три варианта их расположения: 1) третья окружность не разделяет точки пересечения двух других, назовём такие три окружности окружностями Лобачевского, 2) третья окружность разделяет точки пересечения двух других, назовём три такие окружности римановыми, и промежуточный случай 3) третья окружность проходит через точку пересечения двух других, этот вариант назовём евклидовым.

Вырожденный случай, когда все три окружности пересекаются в двух точках, мы не рассматриваем. Покажем, как на основании трёх вариантов расположения окружностей моделируются три плоские геометрии: Лобачевского, Римана (эллиптическая геометрия) и Евклидова геометрия.

Рис. 8
Рис. 8.

На рис. 8 даны три окружности Лобачевского A, B, C, назовём их прямыми геометрии Лобачевского, точками геометрии Лобачевского назовём пары точек пересечения A, B, C между собой. Также назовём прямыми геометрии Лобачевского любую окружность, проходящую через эти пары точек. Пары точек пересечения новых окружностей также назовём точками геометрии Лобачевского.

Любую окружность, проходящую через пару точек пересечения уже построенных окружностей, мы также назовём прямой, и пары точек пересечения таких окружностей мы снова назовём точкой геометрии Лобачевского.

Если две окружности касаются или не пересекаются – они не создают новых точек геометрии. На чертеже мы видим пары точек: (T1, T2), (F1, F2), (H1, H2), (P1, P2), (Q1, Q2), (S1, S2), каждая пара представляет одну точку геометрии Лобачевского, эти точки естественно назвать: T, F, H, P, Q, S. Каждая окружность, проходящая через них, также представляет прямую геометрии, пересечения этих окружностей также представляют точку геометрии.

Рис. 9
Рис. 9.

На рис. 9 показан риманов случай расположения трёх окружностей A, B, C. В этом случае все определения точек и прямых геометрии совпадают с предыдущим, но пары точек пересечения трудней выделить на чертеже: это (T1, T2), (P1, P2), (S1, S2), (Q1, Q2), (F1, F2) представляющие точки геометрии Римана: T, P, S, Q, F.

Мы видим, что на чертеже каждая окружность пересекается с каждой, это не случайно, легко доказать, что если третья окружность разделяет точки пересечения двух других, то любая окружность, проведенная через какие-то точки пересечения, пересекает любую другую окружность, проведенную через другие пары точек пересечения. Поскольку такие окружности представляют прямые геометрии Римана, то мы видим, как и должно быть, – в геометрии Римана все прямые пересекаются.

Последний, евклидов вариант: окружности А, В, С пересекаются в одной точке P. Прямыми евклидовой геометрии мы назовём все окружности, проходящие через P (по аналогии с предыдущим мы могли бы сказать «через пары точек пересечения окружностей», но поскольку одна точка в этих парах всегда P, а вторая может быть произвольна, то это излишне), а точками евклидовой геометрии – точки плоскости (опять-таки, мы могли бы сказать «пары точек, причём вторая точка в каждой паре – P»).

Доказательство, что эта модель даёт геометрию Евклида ясно: рассмотрим инверсию с центром в P; в этом случае все окружности, проходящие через P, перейдут в прямые. Отметим также, что все три рассмотренные модели геометрий конформны (углы между прямыми геометрии совпадают с углами между представляющими их окружностями) и что геометрия треугольника «абсолютной геометрии», т.е. геометрии, не использующей пятый постулат, совпадает с геометрией трёх взаимно пересекающихся окружностей: перпендикуляры и биссектрисы определяются очень легко, медианы – несколько сложнее. В эстетической геометрии, поэтому, мы используем термин «трехокружник».

Эстетика

Такое понимание геометрии окружности позволяет найти удобные алгоритмы для построения эстетических образов, динамичных картин, разворачивающихся во времени, где гармонично сочетаются ритм и формы.

Ниже мы приведём примеры. Неожиданно, что среди возникающих форм часто появляются барочные и даже зооморфные или антропоморфные образы.

Рис. 10
Рис. 10. Многообразие форм эстетической геометрии
Рис. 11
Рис. 11.

Изображения на рис. 10 получены преимущественно двумя способами. Это фрагменты рисунков, полученных в результате композиции симметрий относительно четырёх окружностей (с помощью макросов к программе векторного дизайна CorelDraw) или стоп-кадры программы видео-арта DodecaLook. Также показаны объёмные фигуры, полученные композицией симметрий относительно сфер.

Результат композиции симметрий относительно четырёх окружностей (рис.11). Обратим внимание, основной элемент изображения – необычная спираль с двумя центрами. Подобные рисунки, кроме своей эстетической ценности, хорошо иллюстрируют понятие предела, поскольку из одного центра объекты «вытягиваются», а в другой – «втягиваются».

Обратим внимание также на то, что фигура выполнена в плоской геометрии, но выглядят объёмно, так в эстетической геометрии бывает часто. Возникает вопрос: не связано ли восприятие человеком объёмности с законами эстетической геометрии? Чистая математика не может ответить на такой вопрос.

На рис. 12 стоп-кадр авторской программы видео-арта DodecaLook. Программа показывает бесконечные, движущиеся картины, основанные на законах эстетической геометрии.

Рис. 12
Рис. 12. Картина «Незнакомка-осьминожка, ПОСВЯЩАЕТСЯ А.МЕЛЕНТЬЕВОЙ»

Применение в образовании и компьютерные средства эстетической геометрии

Эстетическая геометрия может применяться и в школе, и ВУЗе, она достойна изучения и сама по себе, и из-за своих связей с другими разделами математики, показанные на диаграмме. Её картины и видео-арт привлечёт внимание учеников младших классов на уроках рисования, а геометрическое объяснение их законов может быть дано в старших классах.

С помощью её картин и теорем можно объяснять понятие предела, комплексные числа, группы перестановок и непрерывные группы. Её методами можно строить фракталы. Занятия с ней превращают урок в компьютерную лабораторию эстетики.

Первые длительные занятия со школьниками по эстетической геометрии были на факультативах в СПб, в лицее ФТШ им. Ж.Алфёрова в 2011–2013 годах, подробно занятия описаны в [6, 8].

В 2016–2017 годах элементы эстетической геометрии использовались там же на уроках по теме «геометрические преобразования», инициатором в обоих случаях был В.А. Рыжик. Геометрия окружности изучалась с помощью общераспространённой программы Geogebra, эстетические образы демонстрировались авторской программой DodecaLook. Школьники с интересом усваивали тему, ход занятий описан в [9].

С апреля 2019 года в Ютубе создан художественный и научно-популярный канал «Револьт Пименов и его дрессированные тритоны», где демонстрируется эстетическая геометрия и есть плейлист «Уроки».

Первые два урока поясняют взгляд на окружность и инверсию, третий урок рассказывает о замечательных свойствах шести точек касания четырёх окружностей, в том числе теорему, изложенную в статье, четвёртый урок посвящён перпендикулярным окружностям.

В сети можно скачать программу «Додека: медитация» для андроида, демонстрирующую видео-арт эстетической геометрии.

Наконец,  раздел сайта Богемный Петербург посвящён эстетической геометрии, на нём есть электронный вариант книги [4].

Литература
1. Клейн К.Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей». Том 2. Геометрия. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
2. Коксетер Г., Грейтцер С. «Новые встречи с геометрией» – М.: Наука, 1978. – 224 с.
3. Бахман Ф. «Построение геометрии на основе понятия симметрии» – М.: Наука, 1969. – 380 с.
4. Пименов Р. «Эстетическая геометрия или теория симметрий» – СПб: Школьная лига, 2014. – 288 стр., с лазерным диском.
5. Пименов Р. «Тройственная симметрия Фрактального калейдоскопа» / Математическое просвещение, третья серия. – Вып. 20. – Москва: МЦНМО, 2016. – С. 57–110.
6. Пименов Р. «В мире поломанных линеек», Компьютерные инструменты в школе. –2011. – №5. – С. 66–72.
7. Пименов Р. «Касание четырех окружностей» // Учебно-методический журнал.«Математика» (Москва, первое сентября). – 2015. –№7.
8. Пименов Р. «О курсе «Эстетическая геометрия» и роли симметрии относительно окружности в обучении математике» // Вестник СГУ. Cер. 1. – 2014. – Вып. 1 (19).
9. Пименов Р. «Компьютерная лаборатория планиметрических преобразований в лицее Академического Университета» / Материалы научной конференции «Герценовские чтения – 2018», 9–13 апреля 2018 г. – Санкт-Петербург: Издательство РГПУ им. А.И. Герцена, 2018. – C. 202.


[1] Инверсия открыта Л. Магнусом в 1831 году, изучалась А. Ф. Мебиусом, А. Пуанкаре (предлагаемую далее модель геометрии Лобачевского можно свести к модели Пуанкаре), Ф. Клейном, в научной литературе используется термин «мебиусова геометрия» для геометрии окружности, классическое понимание инверсии см. в [1, 2]
[2] В литературе часто используют термин «ортогональные», а не перпендикулярные окружности. Но для эстетической геометрии лучше подходит термин «перпендикулярные», т.к. здесь мы опускаем перпендикуляры из точек на окружности, аналогично тому, как опускают перпендикуляры в евклидовой геометрии.
[3] По первой теореме A, I(A), B, I(B) расположены на одной окружности. Возможен случай, когда пара точек A, I(A) разделяет на этой окружности пару точек B, I(B). Легко видеть, что у такого отображения нет неподвижных точек, т.к. соответствующие окружности всегда пересекаются и не могут касаться друг друга. В этом случае нет окружности неподвижных точек, относительно которой осуществляется симметрия I, но сама симметрия I существует. Этот случай часто называют «мнимой инверсией», мы же называем его «симметрией без неподвижных точек».
[4] Отметим, что именно на этом этапе образ точки попадает внутрь окружности I и что пары точек, через которые проводятся окружности, разделяют друг друга (на окружности I). Это означает, что последняя симметрия – симметрия без неподвижных точек, или «мнимая инверсия», о которой говорилось в предыдущей сноске.

Револьт Пименов, учитель Лицея ФТШ им.  Ж.И.  Алферова при Санкт-Петербургском национальном исследовательском академическом университете, член Математического Общества СПб.
Научная деятельность: геометрия, междисциплинарное образование, геометрический видео-арт