Во что играли Пушкин и его герои, и причём здесь комбинаторика. Научно-популярный журнал для юношества «Страна знаний» №4, 2021

В XVIII–XIX веках в Российской империи в среде дворянства были широко распространены карточные игры, которые носили, как правило, клубный характер. Это означало, что в отличие от казино, куда может прийти любой, игры организовывались в закрытых клубах, куда имел доступ ограниченный круг людей. Официально азартные игры были запрещены, однако, как правило, власти закрывали на них глаза.

Негласному покровительству азартным играм служило и то, что государство имело монополию на выпуск игральных карт, и при этом карты стоили дорого. В то же время изготовление самодельных игральных карт и игра ими преследовались по закону. Таким образом, государство собирало налог с азартных игр.

В XIX веке был разработан дизайн так называемых Атласных игральных карт, и выпуск таких карт продолжался вплоть до 2004 года.

Атласные игральные карты, дизайн середины XIX века
Игральные карты – современники А.С. Пушкина. 1815 г.
Атласные игральные карты, дизайн середины XIX века
Атласные игральные карты,
дизайн середины XIX века

Разумеется, не было бы ничего плохого, если бы «господа дворяне», развлекаясь карточными играми «на интерес», проигрывали бы друг другу небольшие (по их меркам) суммы, сопоставимые, скажем, со стоимостью ужина в ресторане. Но на самом деле всё обстояло совсем по-другому. На кон ставились родовые имения, состояния, драгоценности. Это приводило к жизненным драмам не только самих игроков, но и членов их семей.

Крепостное право существовало в Российской империи до 1861 года, и внезапный проигрыш имения мог означать перепродажу «дворовых людей» в розницу и, следовательно, разлучение их семей.

Известно, что Михаил Юрьевич Лермонтов был азартен, но речь сейчас не о нём самом, а об истории, которая легла в основу его поэмы «Тамбовская казначейша».

Тамбов был городом, где играли постоянно и по-крупному. Интересная статистика: в 1822 году в населённый пункт было прислано карт на 170 тыс. рублей, а книг раздела математики «комбинаторика» всего на 250 рублей.

Самые крупные игры проходили в доме братьев Протасьевых. Однажды за столом оказался тамбовский казначей. В этот день в город прибыли уланы, среди которых был некий Гарин. Казначей ставил на кон деньги, лошадей, имение. А Гарин всё выигрывал и выигрывал. Тогда мужчины договорились о следующем: улан ставит все выигранное им имущество, а казначей – свою жену. Нужно отметить, что у супругов была большая разница в возрасте. Казначею было около 50, а его жене – 18.

Атласные игральные карты, современный дизайн
Атласные игральные карты, современный дизайн

Но, пожалуй, самым популярным произведением русской литературы об азартных играх является «Пиковая дама» Пушкина.

Главный герой повести Герман, молодой инженер, любил подолгу смотреть, как играют в карты другие, но сам никогда не делал ставок. Когда его насмешливо стали спрашивать, отчего он так ведёт себя, он ответил:

«Игра занимает меня сильно, но я не в состоянии жертвовать необходимым в надежде приобрести излишнее».

Так в нём жажда лёгких денег борется со справедливым опасением проиграть. Но однажды к нему является призрак старой графини и подсказывает ему якобы беспроигрышную комбинацию:

«Тройка, семёрка и туз выиграют тебе сряду, – но с тем, чтобы ты в сутки более одной карты не ставил и чтоб во всю жизнь уже после не играл».

Герман, следуя такому, якобы беспроигрышному алгоритму, в первый день ставит всё, что у него есть на тройку, действительно выигрывает и удваивает своё состояние. Во второй день он ставит на семёрку и вновь выигрывает и удваивает деньги. В третий день он делает ставку на туза и вновь выигрывает. Но когда Герман переворачивает карту, чтобы показать туза, то это оказывается не туз, а пиковая дама, внешне похожая на покойную графиню. То ли Герман случайно перепутал карты, то ли туз превратился в даму мистическим образом – повесть умалчивает.

В итоге Герман испытал нервное потрясение и закончил свои дни в сумасшедшем доме.

Эта повесть Пушкина многократно издавалась и экранизировалась, по её мотивам композитор Пётр Ильич Чайковский написал оперу, которая по сей день считается классической и входит в репертуар оперных театров всего мира.

Афиши «Пиковой дамы»
Афиши «Пиковой дамы»

Так во что же играли Пушкин и его герой Герман, персонаж «Пиковой дамы», Лермонтов и герои его произведений «Маскарад» и «Штос»?

Игра называлась «Штос», и, оказывается, она совсем не интересная и не интеллектуальная, и единственное, что можно сделать интересного, это вычислить шансы игроков на выигрыш, и это задача из раздела математики «комбинаторика».

Игра ведётся колодой в 52 карты (13 номиналов, от двойки до туза, 4 масти). Масть карт в данной игре не имеет никакого значения. Организатор игры называется банкомётом, он ведёт игру против каждого из игроков.

Банкомёт тасует колоду, а один из игроков «снимает» или «срезает» (т.е часть колоды снимается сверху и кладётся вниз). После этого один или несколько игроков делают свои ставки. Каждый игрок имеет свою колоду. Он вынимает какую-либо карту на своё усмотрение из колоды и кладёт на неё деньги либо записывает сумму ставки мелом (отсюда выражение «поставить на карту»– подвергаться риску). При этом имеет значение только номинал карты (например, двойка), масть не имеет значения.

Банкомёт раскладывает колоду – первую карту направо, вторую налево, третью направо, четвёртую налево и т.д. Если карта того номинала, на которую поставил игрок, появится в левой (т.е чётной) стопке раньше чем в правой (нечётной), то игрок выиграл, и игрок получает от банкомёта выигрыш, равный ставке, а если в правой (т.е. нечётной) стопке раньше, чем в левой (чётной), то игрок теряет ставку.

На первый взгляд игрок и банкомёт находятся в одинаковом положении и имеют равные шансы. Но проанализируем ситуацию внимательно.

Предположим, что игрок сделал ставку на двойку (если ставка была сделана на карту другого номинала, то рассуждения совершенно аналогичны). Будем рассматривать вышедшие из колоды карты парами – вначале 1-я и 2-я. Из соображений симметрии понятно, что вероятность того, что 1-я карта «двойка», а 2-я – нет, такая же, как и вероятность того, что 2-я карта «двойка», а 1-я – нет. В первом случае выиграет банкомёт, во втором – игрок. Но ещё возможна ситуация, когда обе карты – и 1-я, и 2-я – «двойки». Тогда, согласно правилам, карта появилась справа раньше, чем слева, следовательно, выиграл банкомёт. Если двойка не появилась ни на первой, ни на второй позиции, то игра продолжается, и рассуждения относительно пары третья-четвертая карта и т.д. аналогичны. Таким образом, на каждом шаге игры банкомёт имеет дополнительный шанс на выигрыш.

Оценим теперь преимущество банкомёта количественно. Будем в колоде из 52 карт различать двойки и все остальные карты. Четыре двойки могут располагаться в 52 позициях C452=270725 способами (см. приложение в конце).

Вычислим теперь количество способов, при которых выигрывает банкомёт. Чтобы банкомёт выиграл, нужно, чтобы одна из двоек располагалась в позиции i, где i – нечётное число, а остальные три двойки – в позициях с номерами, большими, чем i, таких позиций будет, очевидно 52–i. При этом номер первой вышедшей двойки изменяется в пределах от 1 до 49. Вычислим количество способов, при которых одна двойка занимает позицию i, а остальные три – позиции с номерами, большими, чем i. Три карты могут расположиться в 52–i позициях C352-i способами. Значит, количество способов раскладки карт, при которых выигрывает банкомёт равно сумме f01, но только i должно быть нечётное.

Обозначим i = 2k–1. Если i – нечётное число, изменяющееся в пределах от 1 до 49, то 2i–1 изменяется в пределах от 1 до 25, 52–i = 53–2k и искомая сумма приобретает вид f02.

Эту сумму легко посчитать, написав простую программу или применив какой-либо калькулятор для математических расчётов, она оказывается равной 140725, значит, искомая вероятность выигрыша банкомёта равна 140725/280725≈0,52, значит, шансы на выигрыш игрока равны дополнительной вероятности, т.е. 0,48.

Иннокентий Смоктуновский
Иннокентий Смоктуновский в роли банкомёта
Чекалинского. Экранизация «Пиковой дамы»,
Ленфильм, 1982 г.

Очевидно, что банкомёт имеет небольшое преимущество перед игроком, почти незаметное в одной игре, но, согласно законам математической статистики, это преимущество становится существенным в ходе серии повторяющихся игр.

Пушкин в «Пиковой даме» писал: «В Москве составилось общество богатых игроков, под председательством славного Чекалинского, проведшего весь век за картами и нажившего некогда миллионы, выигрывая векселя и проигрывая чистые деньги».

Большинству читателей сейчас непонятно, в чём состоял трюк банкомёта, и как можно было нажить миллионы, если вероятностное преимущество банкомёта – всего 2 процента. Здесь ключевым словом является «вексель». Это денежный документ — письменное обязательство уплатить кому-нибудь определённую сумму денег в определённый срок. Писались векселя на так называемой вексельной бумаге для личных долговых обязательств.

Например, если А был должен В пятьсот рублей, то А выписывал В вексель, где была прописана сумма долга. В, в свою очередь, мог расплатиться с неким С не деньгами, а векселем, полученным от А, и тогда А автоматически становился должником не B, а С. Векселя могли быть и ставками в «Штосе», но котировались они значительно ниже номинала (т.е. суммы, написанной на нём).

Вексель номиналом в пятьсот рублей
Вексель номиналом в пятьсот рублей

Так, например, вексель номиналом 500 рублей мог быть эквивалентом денежной ставки в 300 рублей. Таким образом, при такой ставке, если банкомёт выигрывал, то он получал вексель и спустя некоторое время получал по нему всю сумму (т.е. 500 рублей), а если проигрывал – то отдавал всего 300. Если подобного рода игры повторялись регулярно, то это приносило банкомёту гарантированный доход. Фактически на азартную игру налагался ещё и эффект ростовщичества.

Пожелаем напоследок читателям больше интересных книг, красивой музыки и главное, удачи, но не в азартных играх и сомнительных авантюрах, а в учёбе, работе и хороших начинаниях.

Приложение. Ckn (читается «це из эн по ка») – число сочетаний из n элементов по k, или, другими словами, число k-элементных подмножеств элементного множества n. При этом полагается, что k, n – целые неотрицательные числа и kn.

Вычисляется по формуле f03, где n!=1·2·...·n (т.е. произведение всех целых чисел от 1 до n).

С.И. Доценко, кандидат физико-математических наук, доцент факультета информационных технологий КНУ имени Тараса Шевченко

 

По теме:

Принцип Дирихле – давайте разберёмся

Формула Байеса – давайте разберёмся

Игра в нарды и классическая формула вероятности