Числа и вычисления. Научно-популярный журнал для юношества «Страна знаний» №8, 2021

Всё есть число.

Древние пифагорейцы[1]

Материал данной статьи предназначен, в первую очередь, для учащихся старших классов, а также для лиц, интересующихся вопросом: что такое число, какие бывают числа, для чего они служат, какие свойства они имеют. Изложение материала ведётся полуформально, и мы просим извинения у тех людей, которые любят строгость и формализм. Для знакомства с содержанием данной статьи не требуется глубоких знаний, а только знания начальной школы. Для такой аудитории читателей и написана эта статья.

1. ЧИСЛА НАТУРАЛЬНЫЕ

Простейшими числами являются целые положительные числа,

0, 1, 2, 3, …

(1)

которые используются в процессе счёта. Эти числа называются натуральными числами, и люди их знали так много веков назад, что знаменитый математик Леопольд Кронекер имел возможность сказать: «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих».

Леопольд Кронекер
Леопольд Кронекер (1823-1891)

Заметим, что число 0 долгое время не считалось натуральным числом и это число заняло своё место в ряду (1) благодаря стараниям вавилонских математиков (0 использовался как знак и не считался числом).

Наименьшим числом в (1) является ноль, а самого большого натурального числа нет, поскольку, какое бы большое число не взяли, существует ещё большее натуральное число. В связи с этим мы говорим, что натуральных чисел бесконечно много.

В повседневной жизни людей возникали потребности складывать и умножать натуральные числа (особенно при расчётах в торговле или при контроле за количеством товара). Эти потребности показали, что сложение и умножение двух натуральных чисел всегда даёт в результате натуральное число.

В математике действия над числами называют операциями, а свойство той или иной операции, применённой к объектам (например, натуральным числам), что даёт снова объекты того же семейства, называется замкнутостью операции. Итак, совокупность натуральных чисел замкнута относительно операций сложения и умножения.

Пример 1. Возьмём множество {0, 1, 2} из трёх чисел. Это множество не замкнуто относительно операции сложения, поскольку 1 + 2 = 3, а число 3 не принадлежит множеству {0, 1, 2}.

Если рассмотреть операцию вычитания натуральных чисел, то она не замкнута на этом множестве, потому что 3 - 8 = -5, а это число не принадлежит множеству натуральных чисел. Но 8 - 3 = 5 является натуральным числом. Такую операцию, которая в одних случаях выводит за пределы множества, а в других не выводит, называют частичной операцией.

Аналогичная ситуация и с операцией деления: 35 разделить на 7 даёт в результате 5, в то время как 7 на 5 не делится, то есть не является натуральным числом.

В том случае, когда при делении натурального числа n на натуральное число m получаем натуральное число, говорят, что число m является делителем числа n.

Сколько делителей имеет число 35? Всего четыре: 1, 5, 7, 35. Вопрос оказался несложным, поскольку 35 относительно малое число. А сколько делителей имеет число 187? Здесь поиск ответа сложнее. Пробуя числа 1, 2, 3 и т.д., находим, что количество делителей тоже равно четырем: 1, 11, 17, 187. Далее нужно было бы найти делители 11 и 17, поскольку делители 1 и 187 очевидны. А для числа 179 оказывается, что, кроме 1 и 179, других делителей нет.

Натуральное число, которое имеет делители 1 и само себя, называется простым числом. Отсюда следует, что число 1 не является простым, так как имеет только один делитель. 1 можно было бы добавить к простым числам, но это приводит к сложности формулировок целого ряда утверждений о простых числах.

Таблица простых чисел
Таблица простых чисел (до 1000)
Начала (Евклид)
Начала (Евклид).
Венецианское издание, 1505 год

В связи с появлением простых чисел возникают вопросы:

  1. Конечно множество простых чисел или бесконечно?
  2. Каждое ли натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел?
  3. Если число можно представить в виде произведения простых чисел, то сколькими способами это можно сделать?

Ответ на вопрос 1 был дан более двух тысяч лет назад и описан в работах Эвклида. А вопросы 2 и 3 являются проблемой разложения натурального числа на простые множители, или проблемой факторизации.

Рассмотрим ответы на вопросы 1), 2) и 3).

Утверждение (Эвклид). Простых чисел бесконечно много.

Доказательство. Предположим, что простых чисел конечное множество {p1,p2, … ,pm} и рассмотрим число n = p1·p2· … ·pm+1. Это число не делится ни на одно из простых чисел p1,p2, … ,pm. Следовательно, это число будет иметь делители 1 и n, то есть оно простое. А это противоречит предположению о конечности множества простых чисел.

Утверждение (о единственности разложения). Каждое натуральное число n единственным способом разлагается на произведение простых чисел, независимо от порядка цифр в этом произведении.

Доказательство. Предположим, что n имеет два разложения на простые множители

n = p1·p2· … ·pk и n = q1·q2· … ·qr,

То есть

p1·p2· … ·pk = q1·q2· … ·qr,

(2)

где pi, qi – простые числа, i=1,...,k, j=1,…r. Тогда среди qi существует число qe1=p1, поскольку n кратно p1. Сокращая обе части на p1, а потом повторяя то же самое для p2 и т.д., приходим к такому результату:

p1 = qe1, p2 = qe2, …, pk = qek, q’j1· q’j2· … ·q’js = 1,

где q’j1, q’j2, … q’js – числа, оставшиеся после сокращения в (2). Но отсюда вытекает, что q’j1 = q’j2 = … = q’js = 1.

Следовательно, в (2) имеем k = r и все pi и qj совпадают, возможно, имея разный порядок вхождения в левую и правую части (2).

Подытоживая приведенные утверждения, получаем теорему, которая называется основной теоремой арифметики.

Теорема (основная). Произвольное натуральное число, отличное от 0 и 1, единственным образом разлагается на произведение простых чисел с точностью до порядка множителей в этом произведении. 

2. ЧИСЛА ЦЕЛЫЕ

Множество натуральных чисел, как было установлено, замкнуто относительно операций сложения и умножения, но не замкнуто относительно операции вычитания. Замкнутости относительно операции вычитания можно достичь, если расширить множество натуральных чисел отрицательными числами:

…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

         Хорошо известно, что операциям сложения и умножения удовлетворяют следующие законы:

  1. Коммутативности: a + b = b + a, a·b = b·a, a·0 = 0·a = 0;
  2. Ассоциативности: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c; (–a) · (–b) = a·b;
  3. Для нуля и единицы: a + 0 = 0 + a = a, a · 1 = 1· a = a;
  4. Дистрибутивности: a · (b + c) = a·b + a·c.

Эти законы удовлетворяют все числовые множества, которые рассматриваются в этой статье.

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания. Но оно не замкнуто относительно деления, поскольку результат деления 3 на 5 выводит нас за пределы множества целых чисел.

Прежде всего, нам желательно иметь только один результат на каждый из вопросов:

сколько будет 3–7?, сколько будет (–2)·(–3)?, сколько будет 8/4?

Другими словами, мы претендуем на то, чтобы результат каждой из операций был однозначным. Рассмотрим, однозначна ли операция деления в множестве целых чисел. Пусть, как и ранее b и d – два заданных целых числа; q их целая часть от деления, которую мы определим как такое число, что b = q·d. Например, если b = –12, то –12 = (–4) ∙ 3, то есть q = –4. Такое число существует и единственное. Пусть теперь b – произвольное целое число, а d = 0. Мы должны найти такое целое число q, что b = 0 q. Если b ≠ 0, то это уравнение решений не имеет, то есть такого числа q не существует, которое удовлетворяло бы уравнению b = 0 q.

Если же b = 0, то наше уравнение приобретает вид 0 = 0, и этому уравнению удовлетворяет произвольное целое число q. Это означает, что если q является решением уравнения, то это решение не единственное. Поскольку единственность результатов арифметических операций важна, то нам хотелось бы сконструировать числовую систему так, чтобы частное от деления одного целого числа на другое не только существовало, но и было единственным. Это достигается путём запрета деления на нуль.

Поэтому мы можем сказать, что целое число d называется делителем целого числа b, если существует единственное целое число q, для которого b = d ∙ q. При этом согласно с проведенным выше анализом d ≠ 0. Единственность числа q доказывается просто. Предположим, что существует два числа q и q´, такие, что b = d ∙ q и b = d ∙ q´. Тогда d ∙ q= d ∙ q´, или d ∙ q - d ∙ q´= 0, а отсюда получаем (на основании закона дистрибутивности) d (q - q´) = 0. Поскольку d ≠ 0, то q - q´ = 0, или q = q´. Следовательно, число q – единственное.

         В множестве натуральных чисел мы выяснили вопрос о том, сколько делителей имеет число 35. Были найдены четыре делители: 1, 5, 7, 35. В множестве целых чисел делителей будет в 2 раза больше, поскольку добавляются те же самые делители с отрицательным знаком: ±1, ±5, ±7, ±35.

2.1. Чётные и нечётные целые числа

Из вышеприведенного определения делителя целого числа n следует, что чётное число можно представить в виде n = 2 ∙ m, где m – целое число. Кроме того, если от данного числа вычесть 1, то получаем нечётное число. А отсюда получаем, что нечётное число n можно записать как n = 2k + 1.

Покажем, что множество чётных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, а нечётных чисел замкнуто относительно умножения и незамкнуто относительно сложения и вычитания.

Действительно, пусть m и n чётные числа, тогда

m = 2k; n = 2k1 и m ± n = 2k ± 2k1 = 2(k ± k1).

Итак, m ± n – число чётное и m·n = 2k·2k1 – число чётное.

Если m и n – нечётные, то m = 2k + 1, n = 2k1+1 и m + n = 2k +1 + 2k1 +1 = 2(k +k1 +1) – число чётное.

mn = 2(kk1) – число чётное.

Но m·n = (2k + 1)·(2k1 + 1) = 2(2kk1 + k + k1) + 1 число нечётное.

2.2. Природа доказательства

Из вышеприведенных примеров доказательства следует одна важная особенность доказательства как процесса. Для доказательства замкнутости чётных чисел относительно операций сложения, вычитания и умножения нужно исследовать всё множество целых чисел, потому что недостаточно проверить только, что 12 + 8 = 20 или 12 8 = 4. Поскольку целых чисел бесконечное множество, то проверить все конкретные суммы и разности нет возможности. Поэтому для доказательства нам понадобилось представление чётных чисел в виде 2k, а нечётных в виде 2k + 1.

Совсем другую ситуацию имеем при доказательстве незамкнутости нечётных чисел относительно сложения и вычитания. Для доказательства достаточно указать только одну пару целых нечётных чисел, результат сложения (или вычитания) которых не является нечётным числом. Но если мы хотим доказать, что сумма двух нечётных чисел является числом чётным, то мы не можем ограничиться конкретным примером.


[1] Пифагорейцы – представители школы Пифагора.

(Продолжение в следующем номере)

С.Л. Крывый, д.ф.-м.н., профессор;
В.П. Шевченко, к.ф.-м.н., доцент;
Киевский национальный университет имени Траса Шевченко