Известно, что уравнения электромагнетизма Максвелла не изучают в школе, потому что для их формулировки нужна достаточно сложная математика теории поля. Но оказывается, что можно написать эти уравнения без применения интегралов и частных производных.

Попробуем сделать это, обобщая хорошо известные школьнику понятия работы силы или потока жидкости. Для этого нам потребуется определение скалярного произведения векторов, тоже известное из школы.

При этом мы обобщим понятия работы силы на произвольную траекторию, а поток жидкости через произвольно расположенную в пространстве площадку.

Вообще откуда возникло известное из математики понятие скалярного произведения векторов? Выскажем предположение, которое возможно имеет исторические корни. Не исключено, что само понятие работы силы, введенное Ж. Понселе в 1826 году, и было кандидатом на предка скалярного произведения.

А скалярное произведение ввел У. Гамильтон в 1846 году. Кстати, он не только изобрел кватернионы, но и дал свою математическую формулировку законам механики.

Действительно сила, действующая перпендикулярно смещению, не выполняет в этом направлении никакой работы. Только составляющая силы – проекция её на это направление – дает вклад в работу.

Таким образом, скаляр

ΔА = (F, Δr )

(1)

где ΔА – небольшая работа, выполненная на малом перемещении Δr. А почему небольшая?

Например, |Δr| может быть и 1км. Важно только то, что на этом расстоянии постоянным должно быть произведение F·Δr·cosα, где F, Δr и α – модули силы, перемещения и угол между ними.

Если перемещение происходит в произвольном направлении в пространстве, выражение (1) записывают несколько иначе и указанную работу называют циркуляцией вектора F вдоль перемещения Δr.

Запишем это так

ΔА ≡ ΔС_F = (F, Δr).

 Для дальнейшего изложения нам потребуется еще одно важное понятие. Мы имеем в виду понятие векторного поля.

Немного истории. Ещё Ньютону не нравился его закон всемирного тяготения по причине его нелокальности. Если в какой-то точке пространства исчезла масса (произошла аннигиляция), то мгновенно исчезает и сила.

Было бы понятнее, если бы действие с какой-то скоростью переносилось через пространство от точки к точке. Чтобы как-то обосновать эту нелокальность Ньютон ввел жёсткое абсолютное пространство, которое мгновенно передает действие на любое расстояние. Правда экспериментально обосновать существование абсолютного пространства так до сих пор и не удалось.

Выход нашел великий английский физик Майкл Фарадей, который предложил идею векторного поля.

Если в законе Кулона величину одного из зарядов принять за единицу, а другой считать источником поля, то закон можно трактовать так, что в каждой точке пространства можно приписать силу, которая действует на этот единичный заряд. Так вводится поле сил.

В нашем случае силу в каждой точке пространства называют напряжённостью электрического поля.

Имея такое поле (оно зависит только от заряда источника и его расстояния от точки наблюдения), легко найти силу, которая действует со стороны источника на заряд любой величины: F = qE(Q,r), где Q и r – заряд источника и расстояние от него точки наблюдения силы.

Если траектория проходит в пространстве, где есть заряды, то существует поле электрических сил.

Например, электродвижущая сила на участке электрического контура является циркуляцией вектора напряжённости электрического поля вдоль этого участка

ΔС_Е = (Е, Δr).

В этом случае – это работа по перемещению вдоль Δr единичного положительного заряда.

Чтобы обобщить понятие «поток вектора» рассмотрим простой пример: воду, текущую в трубе. Пусть сначала скорость одинакова по всему сечению трубы (всегда можно найти такой небольшой участок сечения, на котором скорость с определенной точностью постоянна).

Понятно, что расход воды зависит от составляющей скорости вдоль оси трубы. Перпендикулярно к стенкам трубы вода не течет, поэтому составляющая скорости в этом направлении равняется нулю.

Расход воды G в м³/с через сечение трубы, как известно

 G = S·v,

 где S – значение, площади сечения трубы, v – скорость вдоль её оси.

Чтобы описать расход воды сквозь произвольно расположенную в пространстве площадку, обобщим понятие расхода введениям вектора площадки S, модуль которого равняется площади |S| = S, а направление совпадает с нормалью к площадке.

Тогда расход G можно определить как следующее скалярное произведение

∆G ≡ ∆F_v = (v, ∆S),

его называют потоком вектора v сквозь площадку ∆S.

Как и в случае работы, это площадка, на которой произведение v·∆S cosα можно считать постоянным.

В этом определении учитывается то обстоятельство, что скаляр ∆F_v – расход воды, – обусловлен только составляющей скорости вдоль оси трубы. Заметим, что какое бы сечение трубы не взять для расхода ∆F_v важное значение имеет сечение перпендикулярное к оси трубы.

Другой пример – ток, который на языке введённых понятий есть поток вектора плотности тока j в проводнике через сечение ориентированной площадки ∆S

∆І = ∆F_j = (j, ∆S).

Если нужно найти полный поток сквозь поверхность (или циркуляцию вдоль определенного контура), поле физической величины на которой уже не является постоянным (на участке контура, с таким же условием) надо сложить отдельные потоки ∆F_Ai (или циркуляции ∆C_Ai):

F_A = ∆F_A1 + ∆F_A2 +…+ ∆F_An или C_A = ∆C_A1 + ∆C_A2 +…+ ∆C_An.

(заметим, высшая математика имеет для этих сумм специальное название – определённый интеграл).

После проведённой подготовки несложно написать все уравнения электромагнитного поля Максвелла.

Начнем с теоремы Гаусса, которая обобщает закон Кулона.

Её формулировка: поток вектора напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность равняется сумме зарядов q_і, расположенных внутри неё, см. рис.3:

FE = (Е1∆S1 + Е2∆S2 + …) = (q1 + q2 + ...)/εо = q/εо,

(2)

где ε_о – электрическая постоянная; Е₁, Е₂, … – значения напряжённости в определённых точках поверхности оболочки; ∆S₁, ∆S₂, … – площадки, возле этих точек, покрывающие всю поверхность оболочки, где модули произведений |Е₁∆S₁|, |Е₂∆S₂|, … – постоянны, q – полный заряд внутри оболочки.

Следующее уравнение касается вектора магнитной индукции.

Известно, что магнитных зарядов не существует и это учитывается законом: поток вектора индукции магнитного поля В сквозь замкнутую оболочку равняется нулю:

FB = (В1Δr1 + В2Δr2 + …) = 0.

(3)

Дальше сформулируем закон электромагнитной индукции Фарадея.

Циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль любого связного (не имеет вида восьмерки) замкнутого контура Г равняется средней скорости уменьшения в единицу времени потока вектора индукции магнитного поля (обозначим эту скорость ∆₁) сквозь односвязную поверхность S натянутую на этот контур.

CE = – ∆FB/∆t.

(4)

Немного сложнее (но не очень) формулируется ещё одно уравнение Максвелла. Это обобщение закона полного тока Ампера.

Максвелл заметил, что в разомкнутой цепи переменного тока (которая, например, содержит конденсатор) нужно учитывать воображаемый ток (по аналогии с поляризацией зарядов его называют током смещения), который обусловлен изменением заряда на обкладках конденсатора.

Тогда последнее уравнение Максвелла можно сформулировать так: циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль некоторого замкнутого контура, который охватывает провода с током и конденсаторы равняется суммарному потоку плотности этих токов плюс среднюю скорость изменения потока вектора напряжённости электрического поля

CB = µо(Fj + εо∆FE/∆t ),

(5)

где ε_о и µ_о – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная система уравнений Максвелла в системе единиц SІ выглядит так:

F_E = q/ε_о,

F_B = 0.

C_E = – ∆F_B /∆t,

C_B = µ_о(F_j + ε_о∆F_E /∆t).

Сделаем небольшое историческое замечание.

Фарадей в своём письме, которое просил открыть через 106 лет, пишет о том, что свет имеет электромагнитную природу и распространяется со скоростью 300 000 км/с.

Правда, этот результат Максвелл получил из своих уравнений уже через 10 лет после указанного завещания.

Но, чтобы написать волновое уравнение, из которого следует этот замечательный результат, нужно применить к уравнениям (1) – (4) уже немного больше математики. Как раз те самые производные и интегралы.

 В предсказании электромагнитных волн Максвелл обогнал своё время. Но он не мог знать того, что ещё в 1832 году Майкл Фарадей оставил в Лондонском королевском обществе для хранения в архиве запечатанный конверт с надписью "Новые воззрения, подлежащие хранению в архивах Королевского общества".

Лишь через сто шесть лет в 1938 году этот конверт был вскрыт английскими учёными. На пожелтевшем листке, содержались слова и мысли, которые потрясли всех собравшихся. Оказалось, что Фарадей уже ясно представлял себе то, что "индуктивные явления распространяются в пространстве с некоторой скоростью в виде волн".

В этом бумажном листке от 12 марта 1832 года он написал: "Я пришёл к заключению, что на распространение магнитного воздействия требуется время, которое, очевидно, окажется весьма незначительным.
Я полагаю также, что электрическая индукция распространяется точно таким же образом. Я полагаю, что распространение магнитных сил от магнитного полюса похоже на колебания взволнованной водной поверхности.
По аналогии я считаю возможным применить теорию колебаний к распространению электрической индукции. В настоящее время, насколько мне известно, никто из учёных, кроме меня, не имеет подобных взглядов".

 P.S.

Когда настоящая статья уже была принята к публикации. Редактор заметил автору: работа, конечно интересная, но есть какое-то впечатление незавершенности, чего-то не хватает.

Автор задумался, в самом деле, все изложение построено на двух основных понятиях: циркуляции вектора вдоль контура и потока вектора через площадку. Вроде бы разные понятия, хотя в основе обоих лежит скалярное произведение. Связаны ли они каким-то образом? Оказывается, такая связь существует.

Если задано поле векторов (в каждой точке пространства задан вектор), причём любой природы, не только электрический, то имеет место замечательная теорема Стокса.

Циркуляция вектора вдоль любой замкнутой связной (без самопересечений) линии равна потоку этого же векторного поля через замкнутую поверхность с границей в виде этой линии (контура).

В простом случае, когда контур окружность на плоскости, соответствующая поверхность – это внутренность ограниченного ею круга. Интересно, что Джордж Стокс видимо считал указанную теорему достаточно простой, поэтому не опубликовал её доказательства.

Он вставил её в качестве вопроса к конкурсным экзаменам для студентов-математиков Кембриджского университета. Но позже, и это видимо справедливо, за теоремой закрепилось его имя (это примерно 1850 год).

Сегодня известно много доказательств этой, уже существенно обобщённой, теоремы с тем же именем.

А.М. Пальти, доцент, кафедра общей и теоретической физики Физико-математического факультета Национального технического университета «КПИ» им. И.Сикорского