Вступление

Нарды – интересная древняя игра, история которой насчитывает около 5 тысяч лет. Эта игра относится к так называемым коммерческим играм, где успех зависит как от везения, так и от навыков игроков. В нынешнее время наблюдается повышение интереса к этой игре во всём мире. В первую очередь этому способствует компьютеризация. С одной стороны, у игроков появилась возможность играть по сети интернет с соперниками, находящимися в любой точке земного шара. С другой стороны, появились программы, способные анализировать и сравнивать разные позиции, давать игроку советы и делать замечания относительно его игры. Следует также отметить активное вмешательство математики в нарды, прежде всего таких её разделов, как теория вероятностей и теория игр.

Правила игры

Приведём правила двух наиболее распространённых вариантов игры в нарды – длинные и короткие. Сначала рассмотрим правила, общие для двух вариантов.

Игральная доска состоит из 24 полей и разделена на 4 четверти (или квадранта), по 6 полей в каждой четверти. Каждый из игроков играет 15 шашками.

Право первого хода определяется жеребьёвкой. Игроки бросают по одному кубику. Если на кубиках выпадают одинаковые цифры, то игроки бросают кубики ещё раз, пока не выпадут разные числа. Игрок, который выбросил большее число, выигрывает право первого хода. По одному варианту предварительной договорённости считается, что первым броском игрока являются числа, выброшенные в результате жеребьёвки. По другой договорённости игрок, выигравший жеребьёвку, бросает два кубика.

Далее игроки по очереди бросают на доску 2 кубики и передвигают шашки в заданном правилами игры направлении согласно цифрам, выпавшим на кубиках. Например, пусть выпало 5-3. Игрок, выбросивший такую комбинацию, должен некоторую шашку передвинуть на 5 полей, а некоторую – на 3. Если игрок передвинул шашку на 5 полей, говорится, что он сыграл 5. Какую из двух цифр сыграть сначала, а какую потом, игрок выбирает по своему усмотрению.

Дубль. Если игрок выбросил одинаковые цифры на обоих кубиках (например, 4-4), говорится, что он выбросил дубль, или куш. Тогда его ход удваивается, то есть он должен сыграть выброшенное число не 2, а 4 раза.

В процессе игры игрок может блокировать определённые поля своими шашками. Это означает, что его противнику запрещено ставить свои шашки на эти поля. В длинных и коротких нардах блокировки полей осуществляются совершенно разным образом (как именно – будет рассмотрено в дальнейшем). Поскольку некоторые поля могут быть заблокированными, то в обоих вариантах игры может возникнуть ситуация, в которой игрок не может сыграть выброшенные числа, или сыграть частично. Такие ситуации регламентируются следующими правилами:

1) Если игрок каким-то образом может сыграть два выброшенных числа, то он должен это сделать, если даже это приводит к плохой для него позиции.
2) Если никак нельзя сыграть два выброшенных числа, играет то число, которое можно сыграть. При этом, если разыгрывание одного числа блокирует возможность сыграть так, то игрок должен сыграть большее из выброшенных чисел.
3) Если нельзя сыграть ни одного из выброшенных чисел, то игрок не передвигает шашки, и ход, как обычно, переходит к сопернику.

Целью игры является перенести все шашки в квадрант, который называется дом, после чего начинается выброс шашек из дома, (процедура выбрасывания шашек аналогичная в обоих вариантах игры). Выброс можно делать только тогда, когда все шашки собраны в доме. Игрок, выбросивший все шашки из своего дома раньше, чем противник, выигрывает.

Начисление выигрыша. Игрок, который выбросил из дома все шашки раньше противника, выигрывает одно очко. Если игрок выбросил все свои шашки, а его противник ни одной, то игрок выигрывает два очка (такая ситуация называется «марс», на английском языке – gammon).

Длинные нарды

Начальное размещение шашек показано на рис. 1а. С самого начала у каждого из игроков все 15 шашек находятся на левом нижнем поле и называются головой или стеком. За один ход из головы можно передвигать не более, чем одну шашку. Исключением этого правила является ситуация, когда в первом ходе игрока выпадает дубль – тогда из головы разрешается сыграть две шашки. Оба игрока передвигают свои шашки против часовой стрелки. Цель белых – завести все шашки в свой дом (поля 1-6) и затем выбросить их из дома. Чёрные имеют аналогичную цель, но их дом – это поля 13-18. Игрок может передвигать свои шашки на свободные поля и на поля, на которых уже находятся другие его шашки. Поле, на котором есть, по крайней мере, одна шашка игрока, заблокировано для его противника, то есть ставить на него шашки запрещено.

Короткие нарды

Начальное размещение шашек показано на рис. 1б. Чёрные передвигают шашки против часовой стрелки, и их домом считаются поля 1-6. Белые передвигают свои шашки по часовой стрелке, и их домом являются поля 19-24. Таким образом, в самом начале игры игроки уже имеют по 5 шашек в своём доме. В отличие от длинных нард, заблокированным для противника является поле, на котором стоят две или более шашек игрока. Поле, на котором стоит одна шашка противника, можно занимать, выбивая её. При этом выбитая шашка ставится «на борт» в среднюю часть доски. Игрок, имеющий выбитую шашку, должен во время своего хода снова ввести её в игру и поставить в дом противника в одну из позиций, номер которой соответствует цифре, выпавшей на одном из кубиков (это называется «зарядиться»). Если соответствующие поля уже заняты противником, то шашка остаётся на борту, и игрок теряет ход. Игрок не может передвигать другие шашки, пока не зарядит все выбитые.

Выбрасывание шашек из дома

Выбрасывание шашек – последний этап игры и является аналогичным в обоих вариантах (только в коротких нардах дома противников находятся друг напротив друга, а в длинных – по диагонали). Напомним, что выбрасывание можно начать только после того, как все шашки были собраны в дом. Каждую цифру, выпавшую на кубиках, игрок по своему усмотрению может сыграть, выбросив шашку, что стоит в позиции с соответствующим номером или «переиграть», то есть передвинуть некоторую шашку так, что номер её позиции уменьшится на число, которое выпало.

Если на шестом поле уже нет шашек, а выпадает цифра 6, то игрок должен выбросить шашку с поля с наибольшим номером. Если свободны 6 и 5 поля, то игрок в случае, когда выпадает 5 или 6, снимает шашку с 4-го поля и т.д. Например, в позиции 2в бросок 6-5 играется 4-Off, 3-Off.

Рассмотрим позицию 2а. 6-ку можно сыграть одним способом – выбросить шашку с 6-го поля (6-Off), 5-ку – двумя способами – 5-Off или 6-1, 2-ку снять нельзя, но можно переиграть различными путями – 6-4, 5-3, 4-2 или 3-1. Пусть выпало 5-5. Это очень удачный бросок, лучший способ его сыграть – это 5-Off (3 раза), 6-1. Пусть выпало 6-6 – это лучший бросок. Его можно сыграть только одним способом – 6-Off (4 раза). После этого шестое поле становится свободным. Пусть следующий бросок был 6-4. Его можно сыграть двумя способами – 5-Off, 4-Off, либо 5-Off, 5-1, предпочтительным является первый способ.

Рассмотрим позицию 2б. Пусть выпало 3-3. 2 тройки можно использовать на 6-Off, две другие тройки игрок вынужден переигрывать (лучший способ – 5-2 (2 раза). Пусть выпало 6-3. Здесь не надо спешить выбрасывать 6-Off и переигрывать 5-2 или 4-1 . Лучше сначала переиграть 6-3, тогда шестое поле становится свободным и 6-ку можно сыграть 5-Off. Этот приём называется «заполнение щели». Если в одном из следующих бросков выпадет 3-ка, то можно будет выбросить шашку, вместо того, чтобы только переигрывать.

Считается, что при выбрасывании шашек найти лучшую игру помогает «жадный принцип» – выбрасывать можно больше шашек, и переигрывать только тогда, когда выбрасывать невозможно. Например, в позиции 2б бросок 4-2 надо играть 4-Off, 2-Off (хотя, возможно, хочется переиграть 2-ку 5-3, чтобы закрыть щель). Дубль 2-2 следует играть 2-Off (4 раза) и т.д. Как показало компьютерное моделирование, данный принцип является справедливым в значительном большинстве случаев, но могут быть и исключения. Ситуации, в которых правило работает всегда, таковы. Оставить на доске одну шашку всегда лучше, чем две, а две – лучше, чем три. Разобранный далее пример 6б является контрпримером касательно «жадного принципа», показывающий, что иногда оставить четыре шашки лучше, чем три.

Позиция 2в является ещё одним контрпримером относительно «жадного принципа». Пусть выпало 2-4. Оказывается, что игра 4-2, 3-Off при любой позиции противника является не худшей (а иногда лучшей), чем 4-Off, 2-Off (читателю предлагается подумать, почему).

В дальнейшем мы найдем оптимальные ходы для случая, когда на доске остаётся только две шашки. Но для этого надо будет разобраться, что такое классическая формула вероятности.

Классическая формула вероятности

Пусть множество всех возможных случайных событий можно представить как совокупность элементарных событий, пусть при этом элементарные события имеют следующие три свойства:

1) События взаимоисключающие (то есть, если в результате испытания происходит одно из событий, то это исключает реализацию любого другого события).
2) События образуют полную группу событий (то есть всегда в результате испытания происходит одно из событий).
3) События является равновероятными (т.е. вероятности реализации всех элементарных событий одинакова. Если полная группа событий состоит из n элементарных событий, то вероятность реализации каждого элементарного события равна 1/n.

Тогда, вероятность реализации некоторого сложного события А есть отношение элементарных событий, благоприятных для А, к общему числу элементарных событий.

Поясним данную формулу на примерах. Пусть подбрасывается игральный кубик, на гранях которого нанесены числа от 1 до 6. Тогда множеством элементарных событий является множество целых чисел от 1 до 6: {1,2,3,4,5,6}. При этом такое множество событий удовлетворяет перечисленным трём свойствам.

Во-первых, два числа не могут выпасть одновременно, следовательно, события являются взаимоисключающими.

Во-вторых, кубик является «правильной» геометрической фигурой, и каждая из его граней не отличается от других, следовательно, вероятности выпадения чисел от 1 до 6 одинаковы и равны 1/6.

В-третьих, множество чисел {1,2,3,4,5,6} образует полную группу событий, поскольку в результате подбрасывании кубика всегда выпадет какое-то из этих чисел.

Найдём вероятности некоторых сложных событий.

Задача. Найти вероятность того, что на игральном кубике выпадет нечётное число.

Решение. Всего на кубике 6 цифр, из них нечётными являются 1, 3 и 5 (вместе 3 числа). Итак, искомая вероятность равна 3/6 = 1/2.

Задача. Найти вероятность того, что на игральной кости выпадет число, являющееся квадратом целого числа.

Решение. Всего на кубики 6 цифр, из них квадратами являются 1 и 4 (вместе 2 числа). Итак, искомая вероятность равна 2/6 = 1/3.

Пусть теперь одновременно подбрасываются два кубика. Покрасим кубики в разные цвета для того, чтобы их можно было отличать друг от друга. Тогда множество элементарных событий – это множество упорядоченных пар (i,j), где i и j – это цифры, выпавшие на первом и втором кубиках соответственно (конечно, это целые числа от 1 до 6). Здесь принципиальным является то, что пара является упорядоченной, т.е., например, (2,5) и (5,2) – это два разных события. Тогда общее количество элементарных событий равно 6∙6 = 36. При этом понятно, что все 36 элементарных событий являются взаимоисключающими, равновероятны и образуют полную группу событий.

Теперь можно забыть о покраске кубиков (как правило, игроки подбрасывают два кубика, которые нельзя отличить друг от друга, но надо помнить, что комбинации с двумя разными цифрами (например, 1-2) соответствует два элементарных события, а комбинации с одинаковыми цифрами (например, 1-1) – только одно.

Задача. Найти вероятность того, что сумма очков на двух кубиках равна 6.

Решение. Для этого события благоприятны такие комбинации 1-5, 2-4 и 3-3. При этом, комбинации 1-5 и 2-4 надо считать дважды, а 3-3 – только один раз, следовательно, количество благоприятных событий равно 5. Итак, искомая вероятность равна 5/36.

Задача. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух кубиков выпадет такая комбинация, в которой одно из чисел делится на второе.
Решение. Составим таблицу, в которой благоприятные комбинации будем обозначать «+», а неблагоприятные – «-».

	1	2	3	4	5	6
1	+	+	+	+	+	+
2	+	+	-	+	-	+
3	+	-	+	-	-	+
4	+	+	-	+	-	-
5	+	-	-	-	+	-
6	+	+	+	-	-	+

В таблице есть 22 плюса, следовательно, вероятность равна 22/36 = 11/18.

Применим метод составления таблиц для анализа предпоследнего хода в нардах.

Пусть у игрока в доме осталась одна шашка на 2 и одна на 5. Какова вероятность того, что он выкинет обе шашки за один ход?

Опять рисуем таблицу. Благоприятными являются комбинации, в которых меньшее число не менее 2, а большее – не менее 5. Кроме того, не забываем, что дубли 2-2 и 3-3 также являются благоприятными, поскольку игрок имеет 4 хода. Например, в результате розыгрыша комбинации 2-2 имеем:

2-Off (что означает выбрасывание), 5-3, 3-1, 1-Off.

	1	2	3	4	5	6
1	-	-	-	-	-	-
2	-	+	-	-	+	+
3	-	-	+	-	+	+
4	-	-	-	+	+	+
5	-	+	+	+	+	+
6	-	+	+	+	+	+

В таблице 19 плюсов, значит, искомая вероятность равна 19/36.

Аналогичным образом, вычислим вероятности выброса для всех возможных случаев с одной и двумя шашками (читателю предлагается сделать это самостоятельно, хотя бы для нескольких вариантов). Приведенные цифры – это шансы закончить игру на данном ходу (из 36).

Одна шашка. В первой строке приводится позиция шашки (от 1 до 6), во второй – количество шансов её выбросить (из 36).

Таблица 1.

1	2	3	4	5	6
36	36	36	34	31	27

Две шашки. Для всех возможных вариантов расположения двух шашек вычислена вероятность выбросить обе шашки за один ход.

Таблица 2.

	1	2	3	4	5	6
1	36	36	34	29	23	15
2	36	26	25	23	19	13
3	34	25	17	17	14	10
4	29	23	17	11	10	8
5	23	19	14	10	6	6
6	15	13	10	8	6	4

Покажем, как данные таблицы могут быть полезны для выбора лучшего хода.

Рассмотрим позицию 3а. Чёрные выбросили 6-1. К сожалению, этого недостаточно, чтобы выбросить все три шашки (достаточной является только одна комбинация 6-6). Чёрные надеются, что белые не выбросят свои шашки, и чёрные смогут выиграть во время своего следующего хода. Конечно, чёрные выбрасывают шашку с 6 (6-Off). Как сыграть 1 – передвинуть («переиграть») шашку с 6 на 5, или с 3 на 2? В результате остаются позиции двух шашек 5-3 и 6-2 соответственно. Из табл. 2 находим, что комбинация шашек 5-3 даёт 14 шансов, а 6-2-лишь 13. Итак, 5-3 является лучшей, и лучшим ходом является 6-Off, 6-5.

Рассмотрим позицию 3б. Чёрные выбросили 5-2. Конечно, надо выбросить 5 (5-Off). Как сыграть 2 – с 6 на 4 или с 3 на 1? В результате получим комбинации двух шашек 4-3 и 6-1 соответственно. Из таблицы 2 находим, что комбинация 4-3 (17 шансов) является лучшей, чем 6-1 (15 шансов).

Рассмотрим позицию 3в. На первый взгляд кажется, что 4-2 – это очень плохой бросок – надо переиграть 5-1 и 3-1. В результате у чёрных остаётся 3 шашки на единице, и даже, если чёрные будут иметь возможность следующего хода, то благоприятными бросками будут только дубли (всего 6 комбинаций). Но посмотрим внимательнее. Как отмечалось ранее, бросок можно разыгрывать в любой последовательности. Сначала сыграем двойку – обыграем 5-3. Таким образом, на позициях 4, 5 и 6 не осталось шашек. Теперь четвёрку можно использовать на то, чтобы выбросить шашку из тройки 3-Off. В результате останется позиция 3-1.

Если чёрные будут иметь возможность следующего хода, то выбросят свои две шашки с вероятностью34/36 (только комбинация 1-2 будет неблагоприятной).

Обратим внимание на то, что для того, чтобы правильно разыгрывать предпоследний ход, не обязательно зазубривать таблицу 2. Сделаем из неё только нужные полезные выжимки. Игрок выбирает, какую из двух оставшихся шашек надо переиграть, но в любом случае сумма позиций оставшихся шашек остаётся неизменной (в примере 1а) игрок выбирает между позициями 5-3 и 6-2, 5 + 3 = 6 + 2 = 8. Сравним разные позиции при фиксированной сумме. Так, например, для суммы 7 получим, что позиция 2-5 (19 шансов) является лучшей, чем 3-4 (17 шансов), которая, в свою очередь, является лучшей, чем1-6 (15 шансов). Выводы для различных сумм представим в виде таблицы.

Таблица 3.

(1-3) > (2-2)

(1-4) > (2-3)

(1-5) = (2-4) > (3-3)

(2-5) > (3-4) > (1-6)

(3-5) > (2-6) > (4-4)

(3-6) = (4-5)

(4-6) > (5,5)

Даже в конце игры для выбора лучшего хода надо учитывать не только свою позицию, но и позицию противника.

Продемонстрируем технический приём, который носит название «подготовка дубля».

Сравним позиции, представленные на рис. 4а и 4б. Пусть чёрные должны сыграть 1-6. Чисто внешне они отличаются тем, что в позиции 4а у белых на одну шашку больше. Но это меняет стратегию игры чёрных. В позиции 2а правильным ходом чёрных является 6-Off, 2-1. В результате чёрные будут иметь 4 шашки на полях 4, 3, 2 и 1. Скорее всего (если белые не выбросят дубль) у белых будет ещё два хода, и за два хода чёрные имеют хорошие шансы выбросить свои четыре шашки.

В позиции 2б дела чёрных значительно хуже. В лучшем для них случае (если белые не выбросят дубль), у них будет только один ход. Снять четыре оставшиеся шашки можно только, если выбросить дубль. Посмотрим, какие именно дубли будут благоприятными. Если, как и в предыдущем примере, сыграть 6-Off, 2-1, то благоприятными будут дубли 6-6, 5-5 та 4-4.

Но если сыграть 6-Off, 4-3 (что на первый взгляд кажется нелогичным), то благоприятным становится также дубль 3-3 (говорят, что игрок подготовил 3-3).

Третий возможный ход 6-Off, 3-2 не является лучшим в обеих позициях. Приведём вероятности в процентах выигрыша чёрных, рассчитанные программой Gnu backgammon.

	2а	2б
6-Off, 2-1	62,93	7,18
6-Off, 4-3	44,07	9,57
6-Off, 3-2	43,00	7,18

Приведём другие примеры подготовки дубля.

В ситуации на рис. 5а чёрные после своего хода скорее всего будут иметь ещё два хода. Игра 6-Off, 6-5 оставляет три шашки на полях 5, 4, 3, что даёт неплохие шансы выбросить их за следующие два хода (если за первый ход удаётся снять только одну шашку, то мы уже знаем, как переиграть другую. Например, бросок 5-2 надо играть 5-Off, 3-1, что является лучшим, чем 5-Off, 4-2).

В позиции 5б, скорее всего, у чёрных будет лишь ещё один ход. Поэтому нелогичная на первый взгляд игра 6-Off, 4-3 добавляет дубль 3-3 множеству благоприятных бросков (6-6, 5-5 и 4-4 являются благоприятными в любом случае).

Игра 6-Off, 4-2 не является оптимальной в любом случае.

Результаты компьютерных расчётов приведены в таблице

	2а	2б
6-Off, 6-5	55.48	7,62
6-Off, 4-3	52.12	10.06
6-Off, 3-2	55.37	7,62

Аналогично, в ситуации 6а лучшей игрой является 3-Off, 3-1, в то время как в 6б лучшей игрой, готовящей дубль 2-2 для следующего хода, является 3-2 (4 раза).

Выводы

Разобранные примеры показывают, что выигрыш зависит как от везения, так и от умения игроков. Конечно, каждый игрок надеется на везение. Но для того, чтобы фортуна улыбалась как можно чаще, надо со своей стороны делать правильные ходы, в каждом случае предоставлять ей как можно больше возможностей улыбаться именно вам.

С.И. Доценко, кандидат физико-математических наук, доцент факультета информационных технологий КНУ имени Тараса Шевченко