Поводы для дальних странствий бывают разные. Леонардо – сын богатого купца Боначи из итальянского города Пиза – путешествовал по воле отца в качестве торгового агента. Сопровождая отца в его деловых поездках, он посетил Византию, Сирию, Египет и другие страны Востока. Долгое время живя в Алжире, где отец с успехом занимался торговлей, молодой Леонардо под руководством арабских учёных постигал математику, достигшую на Востоке на рубеже XII и XIII веков своего расцвета.

Возвратившись на родину Леонардо приступил к написанию математического трактата – «Книги абака», собрав в неё все известные ему сведения по арифметике (по–арабски «абака») и алгебре, почерпнутые им из арабских и древнеегипетских источников во время продолжительных странствий по странам Востока.

В книгу также вошли сведения по геометрии из сочинений Эвклида и других античных математиков и собственные математические задачи автора, и способы их решения.

Первое издание книги вышло в 1202 г., когда её автору исполнилось всего 22 года; второе, дошедшее до наших дней, – в 1228 г.

Книга, содержащая почти все основные сведения по арифметике и алгебре того времени, сыграла значительную роль в распространении математических знаний в средневековой Европе.

Одна из особенностей книги состояла в том, что числа в ней были записаны римскими и индусскими (арабскими) цифрами, что явилось открытием для европейских математиков. Так что помимо всего прочего мы обязаны Леонардо из Пизы тем, что он первым в странах Европы ввёл в оборот арабские цифры.

В историю математики Леонардо Пизанский вошел под именем Фибоначчи, которое переводится как сын Боначчи. Этим именем – Фибоначчи – назван и открытый им ряд натуральных чисел, задаваемый начальными значениями u₁=u₂=1 и рекуррентным соотношением:

В результате ряд Фибоначчи имеет следующий вид:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144,233 ,377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

и т.д. до бесконечности.

Числа Фибоначчи связаны между собой множеством всяких зависимостей, но мы остановимся только на четырёх из них.

1) Произведение двух членов ряда:

Приведем пример расчета при N=11, т.е. при u_n-1= 55, u_n=89, u_n+1=144

144×55=89²+(-1)¹¹=7920.

2) Сумма (N-1) членов ряда при n≥2:

Пример: 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=55+89–1=143.

3) Сумма (N-1) членов ряда в квадрате при n≥2:

Пример: 4895=55×89.

4) Отношение любого члена ряда к предыдущему при n>3 колеблется около иррационального числа γ:

то больше, то меньше γ на ничтожно малую величину, но никогда не становясь равным γ при любом сколько угодно большом n .

Примеры результатов расчетов подтверждают соотношения (2) – (5). Такой же вывод можно сделать, проведя расчеты и при любом другом значении N.

А теперь более подробно остановимся на последнем свойстве ряда Фибоначчи. В этой связи обратимся к делению отрезка длиной а на две части: на большую длиной x и меньшую длиной (а– x) (рис.1).

Рис. 1

Пусть большая часть x является средней пропорциональной между всем отрезком а и меньшей его частью (а–x):

Из (6) получим квадратное уравнение x² + ax – a² = 0, положительное решение которого

При а=1 значение x=0,61803398875…, которое является обратной значению ɣ=1,61803398875...., полученному при анализе чисел Фибоначчи (5).

Деление отрезка а согласно (6), т.е. в отношении 1:0,618 , называемое «золотым сечением», было известно ещё античным учёным и впервые встречается в математическом трактате «Начала» греческого математика Эвклида (III в до н.э.).

Считается, что произведения искусства, в первую очередь архитектуры, в основу композиционного построения которых положено «золотое сечение», являясь наиболее соразмерными, способствуют их наилучшему зрительному восприятию и ощущению гармонии.

По принципу «золотого сечения» построены древнегреческие пирамиды и некоторые католические и православные храмы.

Близкие к «золотому сечению» пропорции наблюдаются во многих явлениях и предметах природы, в том числе в конфигурации растений и минералов, а также фигуре человека.

Большое значение «золотому сечению» придавал Леонардо да Винчи, который ввёл в обиход это название.

На рис.2 приведен его рисунок в виде двух фигур обнажённого человека с разведенными в сторону руками и ногами, в пропорциях которых Леонардо да Винчи находил связь с золотым сечением.

Ещё раз обратим внимание и на огромную роль Леонардо Пизанского (Фибоначчи) в соединении им научных знаний Востока и Европы в начале XIII века, когда в те далекие от нас времена мудрость с Востока приходила на Запад.

Дополнение.

1.Продолжите составлять ряд натуральных чисел Фибоначчи ещё на 10 членов и проверьте справедливость формул (2) – (4) при нескольких значениях членов этого ряда.

2. Найдите растение, конфигурация листьев которого соответствует золотому сечению.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА