Какое отношение может иметь совершенно абстрактная теория бесконечных множеств к физике с её измерениями конечного числа величин, значения которых тоже всегда конечны? Чтобы установить такую связь, расскажем о выдающемся достижении человеческой мысли, теории множеств Георга Кантора (1846–1918).

Это удивительно красивая теория. Из неё, например, следует возможность из маленькой дольки яблока сложить целое яблоко, да так, что не отличишь.

Впрочем, давайте по порядку. Начнём с того, что точного, а лучше сказать общепринятого, определения понятия «множество» нет. Это очень общее понятие, его предполагают известным на интуитивном уровне. Конечно, любое понятие можно объяснять с помощью других «более элементарных» понятий. Но так можно зайти очень далеко и до конца не добраться, поэтому где-то надо остановиться. Обычно стараются, чтобы основных понятий было поменьше (принцип экономии мышления).

Заметим, что физики, которые полагают, что занимаются самой передовой наукой, пытаются углубиться на самый нижний уровень, который связывают со сверхмалыми размерами. Так возникла уверенность в том, что гигантские ускорители решат проблемы понимания законов микромира.

Сначала были атомы и электроны, потом появились лёгкие и более тяжёлые «элементарные» частицы: нуклоны, протоны, нейтрино. Позже возникли кварки, да не один, а сразу несколько семейств.

Попытки положить в основу теории элементарные кирпичики не поспевали за открытием новых частиц, и всё это не укладывалось в простую схему. Но насколько этот путь эффективен? При этом, были предупреждения из микромира, основанные, например, на квантовом принципе неопределённости. Квантовая механика пыталась обуздать и согласовать лавинообразный рост парадоксов.

Правда, лучшее, чего ей удалось достичь, так это только, как сказал Ричард Фейнман, дать правильный рецепт. Понимание непостижимого поведения микрообъектов пока остаётся уделом будущих исследователей. Возникает впечатление, что природа неявно ставит запрет человеческим стремлениям найти самые элементарные кирпичики.

Мы немного отвлеклись в область физики, но вернёмся к элементарным или основным понятиям теории множеств.

Ещё великий Эвклид, чтобы как-то объяснить основные понятия, предложил использовать небольшое число основных положений, характеризующих эти понятия. Их он назвал аксиомами. Например, основные понятия точка и прямая, а пример аксиомы, включающей эти понятия: через две точки можно провести только одну прямую.

Но вернёмся к множествам. Обычно общие понятия поясняют на простых примерах. Поступим подобным образом и мы. Прежде всего, множество состоит из элементов. Может существовать множество купюр в кошельке у банкира или множество депутатов в Думе. Ну и дальше можно догадываться о свойствах этих множеств, которые выражаются в понятных каждому аксиомах.

Но приведенным примерам множеств, хотя и интересным, присуще свойство конечности. Мы же хотим рассказать о бесконечных множествах, поэтому обратимся к примерам, связанным с числами. Впрочем, числовыми свойствами характеризуются и конечные множества из упомянутых примеров.

История бесконечных множеств имеет большую историю. Долгое время в науке о бесконечности доминировал авторитет Аристотеля (384–322 гг. до н.э.).

Он писал: «Бесконечное не существует актуально, как тело или величина, воспринимаемая чувствами ... Бесконечное существует потенциально, бесконечное есть движение ...».

Аристотель отвергал предположение о бесконечности Вселенной. Он считал, что она ограничена крайней сферой, за которой уже нет ни тела, ни места. После него считали, что в основе науки лежит предположение: «непрерывное не состоит из неделимого». То есть, непрерывное предполагает возможность бесконечного деления.

После античного расцвета науки был долгий период её упадка, господствовали суеверия и магия. Этот этап завершился только в средние века победой отдельных вероучений и господством инквизиции. Вместе с тем, возникают отдельные ростки новых идей, которые подтачивали религиозные догмы.

В конце XIII века парижский епископ Этьен Тампье, критикуя учение о вечности и несотворённости Космоса, выдвигает идею возможности множественности миров. Более того, он выдвигает мысль о том, что небесные сферы могут двигаться не только по кругу, но и прямолинейно. Но это значит, что за последней сферой есть пространство, а это – первый шаг к бесконечности Космоса.

В XIV веке английский математик Томас Брадвардин даже пришёл к мысли о возможности существования пустоты без материи. Кстати, он впервые применил в математическом смысле слово иррациональный.

Английский философ Джон Баконтроп в начале того же века утверждал, что могут существовать бесконечные числа, совокупности тел. И тело можно разделить на бесконечное количество частей. Это подрывало фундамент всей космологии Аристотеля.

Подрыв античной космологии произошёл в XV-XVI столетиях, в эпоху Возрождения, трудами немецкого философа Николая Кузанского и итальянца Джордано Бруно. Первый развил учение о максимуме, сущности, больше которой уже ничего не может быть. Он также дал толчок математическому способу мышления. Например, утверждал, что прямая линия – это окружность бесконечного радиуса и рассматривал не отдельные фигуры, а предельные положения фигур при том или ином изменении их формы.

Понятие бесконечности привлекло к себе внимание и астрономов. В своём великом труде Николай Коперник утверждает, что расстояние между Землёй и Солнцем пренебрежимо мало по сравнению с высотой небесной тверди, которую полагал бесконечно удалённой. Но вопрос о том, бесконечна ли Вселенная или лишь неизмеримо велика, он оставил учёным будущего.

Последний шаг в разрушении старых догм свершил Джордано Бруно, который заплатил жизнью за свой научный подвиг. Он писал:

«... Вселенная едина, бесконечна, неподвижна ... Её невозможно охватить, и потому она неисчислима и беспредельна, а тем самым бесконечна и безгранична и, следовательно, неподвижна. Она не движется в пространстве, ибо ничего не имеет вне себя, куда бы могла переместиться, ввиду того что она является всем. Она не рождается, так как она и есть всё бытие, и не уничтожается, так как нет другой вещи, в которую она могла бы превратиться... Она не может уменьшаться или увеличиваться, так как она бесконечна».

Дух нового времени Бруно выразил в следующих стихах:

Кристальной сферы мнимую преграду,
Поднявшись ввысь, я смело разбиваю
И в бесконечности мчусь, в другие дали.
Кому на горе, а кому в отраду,—
Я Млечный Путь внизу вам оставляю...

Новый мир был весьма неуютен – оказались разрушены небесные сферы, заключавшие в себе упорядоченный космос античности и средневековья.

В начале XVII в. парижский парламент постановил предавать смертной казни всех, кто выступит против старых и общепризнанных авторов. В это же время святейшая инквизиция провела два процесса над крупнейшим учёным того времени Галилео Галилеем и под угрозой сожжения на костре принудила к публичному отречению от идей Коперника и Бруно, а потом приговорила к пожизненному домашнему заключению.

Но времена менялись. Для решения поставленных практикой задач, учёным всё чаще и чаще приходилось применять запрещённые аристотелевой наукой приёмы, использовать неделимые и бесконечно малые величины. Усиливается интерес к атомизму Демокрита.

Используя «незаконные» приёмы, Иоганн Кеплер получил формулы для объёмов тел. К их вычислению блюстители античной строгости не знали, как и подступиться. Эти методы он применил и в своих бессмертных работах, где установил законы движения планет вокруг Солнца.

Итальянский математик Бонавентура Кавальери, использовал идеи своего учителя Галилея в книге «Геометрия, изложенная новым методом при помощи непрерывного». В ней он выдвинул принципы, позволявшие общими методами определять площади и объёмы различных фигур.

К концу XVII в. методы решения самых разнообразных задач, основанные на использовании бесконечно больших и бесконечно малых величин, были систематизированы и упорядочены в работах английского физика и математика Исаака Ньютона и немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница.

Так возникло одно из самых замечательных творений человеческого разума – математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления, об этом наша предыдущая статья).

В этой истории было ещё много славных имён. Но вернёмся к нашей теме и сделаем небольшой скачок к тому времени, когда возникла необходимость подвести базу под огромную массу накопленных знаний. Такой базой стала теория бесконечных множеств, которой уделим внимание дальше.

О бесконечных множествах можно рассказать много интересного. Самое простое бесконечное числовое множество – это ряд натуральных чисел 1, 2, 3, … Другой пример – ряд простых дробей, например, дробей из отрезка от 0 до 1. Это: ½, 1/3, 2/3, ¼, … Можно выбрать разные дроби, исключив такие, как 2/2, 2/4, ..., чтобы не повторяться.

Что же придумал Кантор?

Чтобы как-то сопоставлять бесконечные множества из разных элементов, он ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия (по-учёному его называют биективным соответствием или биекцией).

Для установления соответствия дробей и натуральных чисел, сгруппируем дроби по возрастанию суммы числителя и знаменателя. Например, ½ (1+2=3), 1/3 (1+3=4), 2/3, ¼ (2+3=1+4=5), и так далее. Ясно, что с ростом суммы будет расти и число дробей, которые ей отвечают.

Теперь вместе с Кантором установим соответствие целых чисел и дробей, например, такое: 1 ↔ 1, 2 ↔ ½, 3 ↔ 1/3, 4 ↔ 2/3, 5 ↔ ¼, … Поскольку каждому элементу соответствует определённый элемент из другого множества, то множества оказываются одинаковыми. Все множества, элементы которых можно сопоставить таким образом, Кантор назвал счётными.

Заметим здесь только, что соответствие элементов можно установить несколько иначе, например: 1 ↔ 1, 2 ↔ ½, 3 ↔ 1/3, 4 ↔ 1/4, 5 ↔ 1/5, … При этом бесконечное число дробей (2/3, 1/6, 2/5, 3/4, …) не будут ничему соответствовать. Но оставим это сомнение на потом.

Пока же, для дальнейшего, нам потребуется следующий факт (докажите его самостоятельно): любую простую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, например, 1/6 = 0,1666… º 0,1(6). В отличие от простых дробей существуют, так называемые, трансцендентные числа, иррациональные дроби, которые так представить нельзя (в десятичной записи это бесконечная непериодическая дробь), например, π,  – 1.

Кантор утверждал, что простых дробей меньше, чем иррациональных на том же отрезке. То есть, множество иррациональных чисел несчётно.

Количественную характеристику бесконечных множеств называют мощностью. Мощность множества иррациональных чисел называют мощностью континуума. Приведенное утверждение тогда можно сформулировать так: мощность счётного множества меньше мощности континуума.

Приведём знаменитое «доказательство» (почему в кавычках, поясним ниже) Кантора (диагональный метод). Метод проиллюстрируем примером. Предположим, что все иррациональные числа можно перенумеровать числами натурального ряда. Расположим их в десятичной записи в таблицу. Итак, пусть возможно установить соответствие:

1 ↔ 0,143385…
2 ↔ 0,598676…
3 ↔ 0,293870…
… ↔ … … …

Вы помните, что выписаны все иррациональные числа. Построим ещё одно, которое не войдёт в таблицу и при этом будет отличаться от всех остальных. В этой новой дроби на месте десятых поставим число, отличное от числа десятых первой дроби (≠ 1), например, 2. На месте сотых – число, отличное от числа сотых второго числа (≠ 9), например, 1. На месте тысячных – число, отличное от числа тысячных третьего числа (≠ 3), например, 4. И так далее ...

Полученное число (0,214…) будет по построению хотя бы в одном разряде отлично от любого из чисел таблицы. Нетрудно понять, что таких чисел можно настроить бесконечное количество. Таким образом, «доказано», что мощность счётного множества натуральных чисел (его ещё записывают N = {n}) меньше мощности континуума (у нас, множества иррациональных чисел).

Но почему слово «доказал» мы взяли в кавычки?

Дело в логическом противоречии. Ведь мы, вместе с Кантором, предположили, что в таблице представлены все числа. Возникает вопрос: правомерно ли строить нечто такое, что противоречит нашему же допущению.

Если бы таблица была конечной, такое логическое замечание не возникло бы. С бесконечностью, которую человек охватить не в состоянии, рассуждение оказывается недостаточно убедительным.

Приведём другой поясняющий пример. Пусть бесконечное множество людей удалось разделить на два множества: подлецов и праведников. Так вот, наша «теорема» утверждает, что если хорошо поискать, то среди подлецов можно вопреки нашему же разделу на множества, отыскать праведников (да ещё и бесконечно много).

«Докажем» ещё одно утверждение, об упомянутом ранее яблоке. Разрежем его на большое количество одинаковых долек и будем увеличивать число делений до бесконечности. В соответствии с теоремой Кантора, каждой второй дольке можно сопоставить натуральное число (то есть множество N). С другой стороны, то же можно проделать для всех долек яблока. Таким образом, по Кантору, половина яблока оказывается эквивалентной целому яблоку.

Или такое рассуждение атеистов, представляемое как «доказательство» отсутствия Бога. Вы утверждаете, что Бог всемогущ. Тогда он может создать камень, который никто не сможет поднять. Возникает вопрос: а сам он может поднять этот камень? Если «да», то камень не обладает свойством неподъёмности, если «нет», то Бог не всемогущ. Очевидно, и здесь возникает логическое противоречие, аналогичное описанному. Само предположение о всемогуществе Бога уже запрещает существование неподъёмных для него камней.

Как видим, не так всё убедительно (взаимно-однозначно) в теории Кантора. Математики обозначают взаимную однозначность или биективность так: 1-1. Мы видим, что утверждение Кантора можно рассматривать только как гипотезу. Но какое отношение все описанные рассуждения имеют к физике?

Чтобы связать физику и теорию Кантора, рассмотрим важное не только для математики, но и для физики понятие непрерывности. Этим свойством, хорошо известным школьнику, обладают многие функции. Так, например, непрерывная функция у = a sinx описывает колебания шарика на пружинке, а у = a x², описывает траекторию тела, брошенного в поле тяжести.

Особенность канторовской биективности в том, что даже очень разные множества, например, {х} и {tgx} можно считать в некотором смысле одинаковыми.

В самом деле, малому изменению Δх величины из множества {х} (обозначим её Δх ≡ δ) даже вблизи особой точки х = π/2 (но не в самой этой точке), соответствует малое изменение Δу величины из множества {tgx} (обозначим её Δу ≡ ε).

Знакомые с понятием производной без труда получат соотношение: ε = δ/cos²x. В этом суть δ-ε – метода доказательства непрерывности функций. Собственно, непрерывность в нашем примере означает, что при х ≠ π/2 малому изменению х (δ) соответствует малое изменение у (ε).

А имеем ли мы дело с непрерывностью в практике физического эксперимента? Конечно, нет. Непрерывность удобна, когда область изменения измеряемой величины значительно больше абсолютной погрешности её измерения. А если нет? Тогда нельзя пользоваться понятием производной и заменять lim(Δу/Δх) на Δу/Δх. Получается, нельзя пользоваться формулой для погрешности косвенного измерения, в которую входят частные производные.

Несмотря на сказанное, полученные с помощью непрерывной математики физические результаты при соответствующей подгонке констант удивительно соответствуют наблюдениям. Эта та необычайная эффективность математики, о загадке которой писал известный физик, лауреат Нобелевской премии по физике, Юджин Вигнер.

Теперь можно сказать о том, в чём же положительный вклад теории Кантора в физику. Главный результат в том, что биективность бесконечных множеств Кантора дала основу для обоснования анализа непрерывных функций Ньютона-Лейбница.

Теперь обратимся к физике и для выяснения здесь роли биективности рассмотрим простой пример.

Пусть есть два прибора: амперметр (далее А) и вольтметр (далее В), установленные на участке однородного проводника. И стоит задача проверить известный закон Ома, который записывается, как известно любому школьнику, в виде R = U/I , где U – разность потенциалов между концами участка, I – ток, протекающий при этом в проводнике, R – сопротивление участка.

Суть проверки в том, что сопротивление должно оставаться постоянным при изменении тока и напряжения. В отличие от U и I, которые измеряют непосредственно приборами (прямые измерения), сопротивление R есть результат косвенного измерения (расчёт по формуле). Опыт (косвенный) должен показать, что R = const.

Напомню, и это очень существенно, любой расчёт по формуле или другому рецепту, не связанному с непосредственным использованием приборов, есть косвенное измерение. Таким образом, в отличие от экспериментатора, физик-теоретик занимается косвенными измерениями. До сих пор всё понятно, но теперь пойдем дальше.

Пусть в нашем опыте максимальное показание шкалы А – I_max = 20 А при цене деления (его можно принять за абсолютную погрешность прибора) ΔI = 1 А, соответственно максимальное показание шкалы В – V_max = 60 В при абсолютной погрешности ΔV = 1 В. Подавая различные напряжения можно проверять наш закон, например, 50/10 = 5 (Ом).

Однако доступных измерению значений напряжения 60/1 = 60, а тока – только 20/1 = 20. То есть, одному значению тока соответствует три значения напряжения (это при линейной зависимости между U и I).

Здесь мы вспомним главное свойство измерений – взаимная однозначность (биективность, при отображении значений измеряемых элементов множеств). Одному показанию прибора может соответствовать только одно показание другого прибора (считаем, что измерения выполняются одновременно). Но какое из трёх значений напряжения соответствует единственному значению тока?

Далее, уже мысленно, продолжим наш опыт. Будем пропорционально увеличивать разрешение шкал. При этом давайте сохраним начальную небиективность. Что это значит? А то, что множества {n} и {3n} во всяком случае, в приложении к измерениям не эквивалентны.

Здесь, как и выше, малому изменению Δх аргумента функции у = 3х соответствует малое изменение функции Δу = 3Δх. Такое соответствие выполняется для непрерывных функций. Но, важно, что при измерениях, одному значению параметра может соответствовать несколько значений другого параметра. И здесь возникает проблема выбора, то есть какие-то вероятностные соображения.

Переходя в мысленном опыте к пределу, если предположить, что можно достичь сколь угодно высокой точности, приходим к тому, что на опыте небиективными вполне могут быть самые разные бесконечные множества.

Приведенный простой пример подчеркивает необходимость учёта небиективности множеств, для того чтобы имела место однозначность соответствия физических параметров прямых измерений.

По традиции в завершение приведём ещё ряд вопросов для размышлений. В предыдущей статье, посвящённой косвенным измерениям, приведены примеры расчёта погрешности косвенного измерения без частных производных. А как же быть в общем случае, особенно, если нет канторовской биективности? Взаимно-однозначное соответствие, на самом деле, – большая редкость. Она имеет место только для функции у = х.

Можно представить себе много способов перехода к необходимой однозначности. Например, выбрать среднее среди нескольких значений, которых оказалось больше при прямых измерениях. Это может быть среднее арифметическое (оно соответствует чисто биективному соответствию), или среднее геометрическое, или среднее гармоническое, или средневзвешенное, или …

Очевидно, средних неограниченно много. Понятно, что если изучаемый закон нелинейный, скажем, имело бы место соотношение R = U³/I, то среднее арифметическое уже не годилось бы, и требовалось бы другое среднее (какое именно?).

Совершенно очевидно, на этом пути, может возникнуть что-то новое и интересное.

А.М. Пальти, старший научный сотрудник по физике ВТСП