Написание текста на том или ином языке предполагает следование определённым правилам, совокупность которых называется грамматикой.

Математика, в сущности, так же является языком. Поэтому при написании математических текстов так же необходимо следовать правилам «математической грамматики». (Под математическими текстами подразумеваются тексты, содержащие математические формулы).

В отличие от обычной грамматики, «математическая грамматика» в школе в явном виде не изучается, но знать её нужно для того, чтобы уметь правильно понимать и записывать хотя бы элементарные математические выражения.

Сегодня прикладная математика с её формулами часто используется физиками, инженерами, биологами, економистами, финансистами, менеджерами, медиками, метеорологами и даже дизайнерами и искусствоведами. Школьниками – в работах для Малой академии наук.

Правила математической грамматики отличаются от тех правил записи математических выражений, которым учат в школе. Кстати говоря, в университетах не всегда на это обращают внимание. Поэтому у многих возникает впечатление, что математический текст можно оформлять произвольно, без каких-либо правил.

В результате получается, что специалист в области, скажем, экономики, менеджмента, бухгалтерии, техники или технологии не может правильно понять формулу, приведенную в какой-нибудь инструкции. Ну, а самостоятельно правильно записать простую формулу для него является неразрешимой проблемой.

Между тем, правила математической грамматики довольно просты.

1) В математических формулах используйте буквы только латинского и греческого алфавитов.

Буквы других алфавитов в математических формулах не используются.

«Человека встречают по одёжке» – гласит пословица. Формула – это «одёжка» метода расчёта. И для неё существует свой, своего рода «дресс-код.»

Так, по формуле типа:

легко узнать в её авторе человека, незнакомого с правилами математического этикета. Так через «И» обозначалось число иголок, а через «Ш» – шаг плетения.

Из формулы (1) видно, что писавший её не знаком с правилом.

2) Не применяйте без необходимости примесь латинских и греческих букв.

Основой математических формул является латиница. Греческие буквы используются в тех случаях, когда требуется в одной формуле отобразить принципиально разнородные математические объекты. Вспомним для примера знаменитую формулу закона всемирного тяготения:

В этой формуле латинскими буквами обозначены измеряемые физические величины (сила, массы, расстояние), а греческой буквой g – физическая постоянная.

Так что сэр Исаак Ньютон не только сумел своевременно подставить голову под падающее яблоко, но и математически правильно записать пришедшую ему в голову по этому поводу мысль.

Если математиками практически все латинские буквы задействованы, то греческие буквы прижились не все. Из больших букв активно используется, пожалуй, только Σ (сигма – см. ниже п.8) да Δ (дельта), реже Π (пи) и Ω (омега). Малые греческие буквы используются почти все, но чаще других применяются α, β, γ, δ, φ, ψ, χ, ε, ξ, λ, μ, ν, π, ρ, σ, ω.

3) Используйте индексы.

В школьной математике, как правило, каждый объект в формуле обозначается своей буквой. Это допустимо, т.к. в школьных задачах обычно «задействовано» небольшое количество объектов. Из школьного курса создаётся ошибочное впечатление, что в математике индексы используются лишь в формуле расчёта двух корней квадратного уравнения да в задачах на прогрессии.

В реальных же математических формулах приходится иметь дело с объектами, количество которых велико либо численно не задано. Для написания таких формул используются индексы. Индекс – это номер объекта в последовательности.

Поясним это на примере.

Допустим, имеется 20 автомобилей различных моделей. Мы хотим написать формулу для вычисления среднего времени, за которое автомобиль проезжает расстояние в s километров. Предполагаем, что все автомобили едут на предельной для себя скорости.

Для обозначения этой скорости и вводится переменная с индексом: ν_i. ν_j. Индекс j здесь обозначает номер (обычный порядковый – не полицейский!) автомобиля – он изменяется в пределах от 1 до 20. Этот факт отражается в записи:   j= 1, ... ,20 или  .

Формулу для времени пути j-го автомобиля можно записать так:

а среднее время определить по формуле:

Вполне допустимо, чтобы один или оба предела изменения индекса обозначались буквами. Например, для количества автомобилей можно использовать обозначение N, и тогда формулы (3) и (4) заменятся на следующие:

Для обозначения индексов принято употреблять латинские буквы i,j,k. Пределы изменения индексов принято обозначать латинскими буквами m, M, n, N. Однако, здесь «возможны варианты».

Например, в прогрессиях индексы обозначаются буквой n. Как правило, индекс размещается внизу справа от основной буквы. Реже используются верхние индексы – они располагаются вверху справа от основной буквы. Если существует возможность спутать их с показателем степени, то верхние индексы берутся в скобки.

Вряд ли вам понадобится пользоваться верхними индексами, но для того, чтобы они были вам знакомы при чтении формул, покажем, как это выглядит:

Часто в формулах приходится использовать двойной индекс. Так, например, рост j-го ученика i-го класса удобно обозначить через R_ij.

При использовании индексов нужно не забывать, что a_i и a_j – это одно и то же! И в том, и в другом случае при изменении индекса мы получаем последовательность вида a₁, a₂, a₃ … Поэтому, обозначая, скажем, через a_i количество отличников в некотором классе, а через a_j – количество двоечников, мы совершаем ошибку, так как эти обозначения на самом деле одинаковы. В данном случае правильно записать: a_i – количество отличников в i-м классе, b_i – количество двоечников в i-м классе.

4) Правильно используйте штрихи, чёрточки, тильды.

Если в математическом тексте наряду с обычными буквами (x,y,z...) используются буквы со штрихами (x', x'', x'''...), чёрточками (), тильдами (волнами) и крышечками (), то это означает, что для переменных величин x,y,z выбираются некоторые фиксированные значения.

Пример: t_i – время опоздания на занятия i-го ученика. Можно записать, что t ≤ t ≤ t^-, где t и t^- – соответственно минимальное и максимальное время опоздания.

5) Не забывайте о синтаксисе.

Математический текст подчиняется правилам обычной грамматики – все синтаксические знаки (точки, запятые и пр.) должны быть расставлены, даже если они размещены между формулами или между формулой и обычным текстом.

6) Нумеруйте формулы.

Обязательно нужно нумеровать формулы, на которые вы ссылаетесь в тексте. Желательно также нумеровать абсолютно все формулы – другим людям или вам же, но в другое время, может понадобиться сослаться на любую формулу.

Номер формулы в круглых скобках размещается у правого края страницы. Примеры – нумерованные формулы данной статьи.

7) Помните об общепринятых обозначениях.

Мы уже отмечали, что для обозначения текущих значений индексов принято использовать буквы i,j,k; пределы изменений индексов обычно обозначаются через m,M,n,N. Переменные величины обозначают буквами x,y,z; постоянные – буквами a,b,c,d,f. Переменную, описывающую время, обозначают буквой t; предел изменения этой переменной – буквой T.

В каждой предметной области имеются свои традиции относительно обозначений. Так, мы знаем, что в геометрии через π обозначается отношение длины окружности к диаметру, и применять эту букву для обозначения других объектов противопоказано.

В то же время, экономисты часто используют π для обозначения цен – здесь это не вызывает недоразумений. Немало примеров на тему традиций в обозначениях вы можете найти в учебниках по физике – там у многих латинских и греческих букв есть своё строго определённое место.

8) Соблюдайте правила композиции математического текста.

При написании математических формул обычно применяют один из двух способов расположения материала в зависимости от того, вводится описание обозначений до или после формулы. Схематически это выглядит так:

Приведём примеры.

9) Правильно используйте знак суммирования.

В математических текстах часто встречается знак Σ. Это греческая буква «сигма большая». Применяется она для обозначения операции суммирования. А именно: запись  означает, что осуществляется суммирование первых n элементов последовательности {t_j}. В виде формулы это выглядит так:

Под «сигмой» указывается индекс суммирования, знак равенства и нижний предел суммирования; над «сигмой» указывается верхний предел суммирования. Это – классическая форма записи операции суммирования.

Встречаются сокращённые и модифицированные формы записи. Так, если пределы суммирования очевидны или несущественны, применяют запись  (без указания пределов суммирования). Если же очевиден и индекс суммирования, то под «сигмой» можно обойтись и без него, записав просто Σt_j. Практичные американцы операцию суммирования печатают в виде  – так экономится место при наборе текста.

Все приведенные правила являются «неписаными». Их нарушение не является уголовно наказуемым. Однако, например, начиная с середины XV века, когда были изобретены знаки «+» и «–», никому не приходит в голову вместо них использовать в формулах что-либо другое (например, слова «сложить» и «вычесть»).

Поэтому привычка к правильному оформлению математических формул будет выдавать в Вас грамотного человека и повышать уровень понимания Вами математических текстов, написанных другими людьми.

Б.Г. Тучинский, математик, кандидат экономических наук, старший научный сотрудник Института возобновляемой энергетики НАН Украины