Великий визирь государства сельджуков Низам аль-Мульк в праздник Нового года, Науруз, приходящийся на день весеннего равноденствия, решил посетить обсерваторию, построенную под его неусыпным наблюдением по велению султана Малик–шаха. Визирь, словно простой смертный, в сопровождении стражи пешком поднялся на холм, на макушке которого располагалась обсерватория в форме высокой башни, сложенной из прочного красного кирпича, массивней и роскошней которой, как считали в Исфахане, столице государства, нет во всём мире.

Сердце визиря было переполнено гордостью. Дело было не только в том, что удалась сама обсерватория, с крыши которой велись круглосуточные наблюдения за Солнцем, Луной и звёздами, и не в том, что аль-Мульк уговорил султана быть щедрым и закупить самые точные и дорогие астрономические приборы. Главной причиной гордости визиря было то, что удалось пригласить на службу самых лучших на мусульманском Востоке астрономов, среди которых был Омар ибн Ибрахим аль-Хайами – учёный-звездочёт, предсказатель погоды, философ, математик и астролог, чьи гороскопы оказывались на редкость точны.

Единственное, что настораживало визиря, правоверного мусульманина, строго соблюдавшего все предписания Корана, – некоторая вольность в стихах-четверостишиях (рубаи), передаваемых в Исфахане из уст в уста и приписываемых этому великому звездочёту, кратко именуемому Омар Хайям.

Он, визирь, человек образованный, вовсе не чужд был высокой поэзии и готов был внимать не только суфитским поэтам, проповедующим строгость нравов и аскетизм, но и с удовольствием слушать стихи–газели, зовущие к сладостному и прекрасному. Но рубаи, которые ему прочли недруги Омара, его смутили.

Особенно визирь запомнил три четверостишия.

Ко мне ворвался ты, как ураган, господь,
И опрокинул мне с вином стакан, господь!
Я пьянству предаюсь, а ты творишь бесчинства?
Гром разрази меня, коль ты не пьян, господь!

Запрет вина – закон, считающийся с тем,
Кто пьёт, когда, и много ли, и с кем.
Когда соблюдены все эти оговорки,
Пить – признак мудрости, а не порок совсем.

За мгновеньем мгновенье – жизнь протекает….
Пусть весельем мгновенье это блестит!
Берегись, ибо жизнь – это сущность творенья.
Как её проведёшь, так она и пройдёт.

Великий визирь посчитал всё, нашёптанное ему, злобным наветом и отверг подозрения в отступничестве Омара от мусульманской веры. Он высоко ценил мудрость и необыкновенные способности Хайяма и потому никому не позволял обижать главного астролога султана. Ни один волос не должен был упасть с головы звездочёта, пока сильной и беспощадной рукой государством правил он, мудрый и проницательный Низам аль–Мульк.

Но как прекратить ложные доносы, коснувшиеся уже и ушей султана? Визирь приказал переписать и распространить в сотнях экземпляров переданную ему Хайямом рукопись под названием «Науруз». Одно только её начало свидетельствовало о том, с каким почтением и благоговением Хайям относится к Аллаху.

Да, недругов Омара визирь на время заставил умолкнуть. Но мучительные сомнения в себе самом он не заглушил. Ведь если судить о Хайяме по его рубаи, то он гулёна, весельчак, выпивоха, скептик, разрушитель нравственных устоев, превыше всего ставящий вино, наслаждения и плотскую любовь, одним словом, человек-змея, недостойный быть мусульманином. Только хадж, паломничество в Мекку, может спасти такого.

Но одновременно визирь уверен был и в абсолютно противоположном: Омар Хайям – глубокий философ, великий математик, непревзойдённый астролог, тонкий знаток Корана, тихий и уравновешенный человек, предпочитающий всем усладам бытия уединённый, созерцательный образ жизни. А может быть Хайям столь велик, что в нём уместилось несколько человеческих натур, и не ему, визирю, судить его?

На пороге обсерватории визиря встретил Омар Хайям. Он низко поклонился почётному гостю и провёл его в комнату на первом этаже, предназначенную для отдыха и бесед. На стол, покрытый белоснежной скатертью, слуга, тенью скользнувший по комнате, поставил кувшин с вином, вазу с фруктами, тарелку с миндалём и два бокала.

Что может сравниться с беседой двух мудрых людей, даже если один из них властелин другого? Сначала Хайям раскрыл визирю смысл нового календаря, подготовленного им совместно с помощниками на основе результатов многолетних наблюдений за Солнцем и звёздами. Принятие такого календаря Малик-шахом должно было увековечить имя султана. Затем Хайям рассказал визирю о своём математическом трактате «О доказательствах алгебры и аль-мукабалы».

Вот на этом труде Хайяма, опубликованном предположительно в 1074 г., давайте и остановим наше внимание.

Начнем с расшифровки слова «аль-мукабала».

В XI веке на арабском Востоке развитие математики достигло высокого уровня. Раздел математики, связанный с решением уравнений между целыми многочленами, арабские учёные называли двумя словами: алгебра (по-арабски «аль-джабр») и аль-мукабала.

Первое из приведённых слов переводится как «восполнение», второе – как «противопоставление». Эти слова обозначают две алгебраические операции: перенесение некоторых членов уравнения из одной части в другую (восполнение) и приведение подобных членов (противопоставление). В дальнейшем слово «аль-мукабала» в названии дисциплины отпало и осталось только второе слово – «алгебра».

Алгебра, зародившаяся в Древней Греции (в её становление громадный вклад внесли Архимед, Аристотель, Эвклид и Аполлоний), в средние века своё дальнейшее развитие получила в странах Среднего Востока. Трактат Хайяма был посвящён главным образом решению алгебраических уравнений. Всего математик насчитал 25 канонических форм уравнений, 14 из которых он отнёс к кубическим. Вот три таких уравнения:

X³ + bX = a, X³ + cX² = a, X³ + cX² + bX = a.

Здесь вполне уместен вопрос: зачем необходимо было в Средние, а тем более в Древние века решать кубические уравнения? В связи с чем возникла такая задача?

Впервые её сформулировал греческий учёный Архимед (287–212 г. до н.э.), живший в городе Сиракузы на острове Сицилия. В своём труде «Книга о шаре и цилиндре» он поставил и решил встречающуюся при строительстве задачу о рассечении шара на две части в заданной пропорции.

В современной трактовке решение задачи Архимеда выглядит следующим образом. Поскольку объём шара (рис. 1)

где R – радиус шара, а объём сегмента шара высотой x = h  

то при делении объёма шара в отношении М получаем

После преобразования выражения (3) получим кубическое уравнение,

где b = 3R, .

Действительный корень уравнения (4) есть требуемая высота h сегмента шара при его делении в отношении объёмов, равном М (рис. 1).

Для решения четырнадцати канонических видов кубических уравнений Хайям использовал геометрический метод, основанный на применении конических сечений – окружностей, гипербол и парабол, и позволяющий найти только действительные корни. Вместе с тем его попытка найти числовое решение кубического уравнения не увенчалась успехом.

Вот что он пишет в трактате по этому поводу: «Доказательство этих видов [уравнений] в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придёт после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первые степени, а именно число, вещь и квадрат».

И такие математики пришли спустя 400 лет после смерти Хайяма. Числовое решение кубического уравнения, выраженное в радикалах, было найдено в XVI веке итальянскими математиками. Оно вошло в современную алгебру под именем формулы Кардано.

А в целом математикам потребовалось 1800 лет, чтобы разрешить проблему, сформулированную в древние века и связанную с определением корней кубического уравнения.

Вот основные участники этого нелёгкого поиска: греческие математики (III век до н.э.), китайские (II век до н.э.), арабские (XI век) и, наконец, итальянские (XVI век). Порой так сложен и длинен путь в науке в поисках истины.

Для определения действительного корня уравнения (4) воспользуемся самым простым и наглядным способом решения – графическим. Точка пересечения графика функции, вытекающей из уравнения (4), с осью абсцисс и есть решение уравнения (5).

Такое построение при делении шара радиусом R = 10 в отношении М = 1:3 выполнено на рис. 2.

Согласно рис. 2 уравнение (5) в рассматриваемом примере имеет два действительных корня: x₁≈6,527 и x₂≈28,79. Поскольку высота сегмента x<2R (в рассматриваемом примере при R = 10 значение x<20), то физический смысл имеет только первое решение, x₁ = 6,527.

По формулам (1) и (2) определим объём шара и двух его сегментов (верхнего и нижнего) и убедимся в том, что сумма объёмов двух сегментов равна объёму всего шара. Проведите самостоятельные расчёты и при других значениях числа М деления шара.

В заключение ещё несколько слов об Омаре Хайяме – человеке исключительного дарования, достигшем мировых высот и в науке, и в поэзии. После паломничества в Мекку последние 15 лет жизни Хайям провёл в уединении на родине – в Персии, в городе Нишапуре, где он родился.

Умер Хайям в 1131 г. в возрасте 83 лет. На обелиске на могиле поэта выгравирована надпись:

МУДРЕЦ ОМАР ХАЙЯМ

Смерть мудреца 616 г. хиджары по лунному календарю.

У могилы Хайяма присядь и свою цель потребуй,
Одно мгновенье досуга от горя мира потребуй.
Если ты хочешь знать дату построения обелиска,
Тайны души и веры у могилы Хайямы потребуй.

В завещании Омар Хайям просил в день весеннего равноденствия – в праздник Науруз – чтобы потомки не забывали осыпать его могилу белыми, розовыми, красными, коричневыми лепестками плодовых деревьев.

И вот ещё рубаи Омара Хайяма:

Когда б я властен был над этим небом злым,
Я б сокрушил его и заменил другим,
Чтоб не было преград стремленьям благородным
И человек мог жить, тоскою не томим.

Будь весел! Море бедствий бесконечно,
Круговорот светил пребудет вечно.
Но завтра ты пойдёшь на кирпичи
У каменщика под рукой беспечной.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА