У минулому столітті революційні зміни відбулися не лише у фізиці, але й у математиці. Однак, якщо ім’я Ейнштейна відоме кожному – навіть тим, хто не в змозі згадати жодного закону Ньютона, – то Курт Гьодель для широкого загалу читачів, на жаль, поки що залишається постаттю в науці маловідомою. І це несправедливо. Адже переворот у мисленні вчених, який він здійснив, був таким же радикальним, як і теорія відносності. І недарма його внесок у науку вважають одним з найвищих інтелектуальних досягнень ХХ століття.

Курт Гьодель народився 28 квітня 1906 року в місті Брюнне (нині Брно) в Моравії, що тоді належала до Австро-Угорщини. У цій частині Моравії переважно проживали німці, а австрійські лютеранські сім’ї були в меншості. Батько Гьоделя був співвласником невеликої текстильної фабрики, мав власний будинок з прислугою; одним із перших у Брюнні придбав собі автомобіль «крайслер». Він добре розумів своє головне завдання – дати двом синам гідну освіту.

Курт зростав сором’язливим і вразливим хлопчиком. У ранньому дитинстві він переніс кілька захворювань, найбільш серйозним з яких був приступ ревматизму в шестирічному віці. Подих смерті, який відчув Курт, призвів до нестерпної іпохондрії, якою він страждав усе життя.

Можливо, проблеми зі здоров’ям примусили хлопчика до вивчення підручника з медицини – і він переконав себе в тому, що в нього слабке серце, хоча жоден із лікарів не знаходив тривожних симптомів. Пізніше, вже наприкінці життя, Гьодель помилково вирішив, що його хочуть отруїти, і, відмовившись від їжі, заморив себе голодом.

Ще з дитинства Курт дуже полюбляв ставити нескінченні запитання. Здавалося, що він вимагає пояснити все на світі, за що навіть отримав прізвисько «Пан Чому». У школі, не дивлячись на часті пропуски занять за хворобою, навчався лише на найвищі оцінки. І лише одного разу дав слабину. Ви, мабуть уже здогадалися з якого предмета – звичайно ж, з математики.

Закінчив школу в 1923 році і вступив на фізико-математичний факультет Віденського університету. Гьодель довго вагався у виборі майбутньої спеціалізації – математика чи теоретична фізика? Однак, як це нерідко буває, вирішальний вплив здійснила особистість викладача. Юного Курта зачарували лекції професора Фуртвенглера. І вибір було зроблено – математика!

Фуртвенглер страждав від паралічу – від шиї і нижче, він читав лекції, знаходячись в інвалідному кріслі, а його асистент робив записи на дошці. Не форма, а глибокий зміст та тепло душі викладача викликали захоплення студентів, і не закохатися в математику було просто неможливо.

У 1928 році Курт Гьодель закінчив університет і вже наступного року захистив докторську дисертацію. З 1930 року почав викладати у Віденському університеті. Знаменитим на ввесь світ став у 25 років, сформулювавши дві теореми, які перевернули уявлення вчених про, здавалося, найбільш непохитне в науці – математичне доведення. У популярному викладі ці теореми формулюють як «у математиці не все можна довести чи спростувати», а в методологічному сенсі – «принципово неможлива повна формалізація математики і наукового знання в цілому».

Науковий ефект від результатів Гьоделя призвів до наслідків, які можна було очікувати лише від надпотужного інтелектуального вибуху. Давид Гільберт, який зазнав при цьому смертельного удару по своїй програмі формалізації математики, якось у відчаї сказав, що його розум сприймає досягнення Гьоделя, а серце – ніяк не може з ним змиритися.

Ганс Ган, під керівництвом якого молодий Курт Гьодель отримав ступінь доктора, оцінив здобуток свого учня з вершини філософського прозріння: «Гьодель встановив, що прагнення до абсолютно обгрунтованої істини є надмірним прагненням, можна припустити, що абсолютно обгрунтованої істини не існує ніде. Це наукове досягнення найвищого рангу, яке посяде почесне місце в історії науки».

Зробимо невеликий екскурс в історію.

Аксіоматичний метод

Аксіоматичний метод використовується в математиці з самого початку її становлення як теоретичної науки. Широко відомим цей метод став завдяки «Началам» Евкліда (прибл. 330 р. до н.е.), але перші доведення геометричних твердженнь приписують ще давньогрецькому філософові Фалесу Мілетському (VI ст. до н.е.).

Славетний Піфагор через кілька десятиліть після Фалеса довів одну з найглибших теорем античної математики про несумірність діагоналі квадрата з його стороною. Цей факт часто вважають народженням теоретичної математики.

Чітке формулювання аксіоматичного методу належить одному з найвидатніших мислителів за всю історію людства – давньогрецькому філософові Арістотелю (384-322 до н.е.).

Блискучим зразком застосування аксіоматичного методу є геометрична система, викладена в «Началах» Евкліда. Шкільний курс геометрії досі в значній мірі базується на цій системі.

Наступний істотний крок у розвитку аксіоматичного методу було зроблено лише в XIX ст. Як відомо, протягом двох тисячоліть учені прагнули вивести постулат про паралельні прямі з інших, але всі їх спроби виявилися марними. І тоді Карл Гаусс, Микола Лобачевський та Янош Больяї незалежно один від одного збудували геометричні системи, в яких не використовувався цей постулат про паралельні. Стало зрозуміло, що вищезазначений постулат не залежить від інших аксіом евклідової геометрії.

Подальші дослідження Георга Фрідріха Рімана (1826-1866) дали змогу говорити вже не про дві, а про велику кількість різних геометрій. Відкриття неевклідових геометрій поклали край започаткованій ще Арістотелем концепції самоочевидності, апріорності математичних понять і аксіом.

Це зумовило виникнення формально-аксіоматичних систем. Давид Гільберт (1862-1943) створив програму, згідно якій такі системи мають будуватися лише за формальними законами логіки, без посилань на зовнішній смисл понять і аксіом.

Програма Гільберта

У працях Гільберта та його учнів аксіоматичний метод досяг вершини свого розвитку. Для уточнення поняття аксіоматичної системи Гільберт увів поняття формальної системи. Опис кожного розділу математики у вигляді формальної системи та конструктивне доведення несуперечливості отриманих формальних систем – у цьому сутність висунутої Гільбертом грандіозної програми обгрунтування математики.

Формальна система складається з логіко-математичної мови, множини аксіом та множини правил виведення. Необхідність уведення строгої логіко-математичної мови для опису математичних тверджень випливає з неоднозначності природних мов (української, англійської і т.п.). Наприклад, навіть таке просте речення «Іван зустрів Марію з квітами» має два різних смисли: а) квіти були в Івана; б) квіти були в Марії. А дещо складніше «Іван зустрів Марію на лузі з квітами» – три різних смисли (третій варіант – квіти росли на лузі)! Така неонозначність пов’язана з багатством природної мови, проте для математичної мови є недоречною.

Правильно збудовані слова мови формальної системи називаються формулами. Аксіоми є формулами, вони оголошуються істинними твердженнями. Правила виведення дозволяють з одних формул отримувати інші, при цьому вони мусять зберігати істинність формул. Тому кожна теорема – формула, що отримується з аксіом за допомогою правил виведення, – також є істинним твердженням.

Кожну конкретну математичну теорію Т можна описати мовою належної формальної системи S таким чином, що кожне твердження теорії Т буде виражене певною формулою системи S.

Природно було б сподіватися, що такий метод формалізації дозволить описати всі істинні твердження деякої математичної теорії як теореми відповідної формальної системи. Це дало б змогу досліджувати надзвичайно важливі питання несуперечливості, повноти та розв’язності математичних теорій.

Несуперечливість математичної теорії як несуперечливість відповідної формальної системи означає неможливість виведення в цій системі як деякої формули, так одночасно і її заперечення.

Повнота несуперечливої формальної системи означає, що кожна формула, яка описує певне твердження, або доводиться (є теоремою), або спростовується (її заперечення є теоремою).

При наявності несуперечливості та повноти система з конструктивно заданою множиною аксіом стає розв’язною. Це означає, що існує алгоритм, який за кожною формулою системи визначає, теорема вона чи ні.

Гільберт сподівався, описавши у вигляді формальної системи той чи інший розділ математики, отримати надійне конструктивне (фінітне, як він говорив) доведення її несуперечливості та повноти.

Теореми Гьоделя

Нищівний удар по сподіваннях Гільберта наніс у 1931 році Курт Гьодель, коли надрукував свою знамениту працю «Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» («Про формально нерозв’язні твердження в “Принципах математики” і споріднених системах»).

У цій праці Гьодель дослідив дві найбільш відомі формальні системи математики – систему «Принципи математики» Бертрана Рассела і Альфреда Уайтхеда, а також аксіоматичну теорію множин Цермело-Френкеля. У них було формалізовано всі методи доведень, що використовуються в математиці, тобто доведення були зведені до сукупності деяких аксіом і правил виведення.

Можна припустити, пише Гьодель, що ці аксіоми і правила виведення достатні, щоб довести або спростувати будь-яке математичне твердження, яке може бути формально виражене в цих системах. Насправді ж, таке припущення є хибним. У вказаних системах існують проблеми формальної арифметики, які є нерозв’язні (тобто які не можна ні довести, ні спростувати). І така ситуація є загальною, тобто не пов’язана зі специфікою формальних систем Рассела-Уайтхеда, Цермело-Френкеля чи інших систем.

Усі системи, що містять у собі формальну арифметику, характеризуються такою ж особливістю, тобто в них завжди можна сформулювати таку проблему, яка буде нерозв’язною.

Головним скарбом праці Гьоделя стали дві його знамениті теореми, які отримали назву теорем про нерозв’язність (або про неповноту і несуперечливість). Для їх доведення автор створив метод так званих гьоделівських номерів.

У той час, коли звістка про теореми Гьоделя долетіла до Америки, видатний математик Джон фон Нейман миттєво припинив читати свій спецкурс з викладом програми Гільберта і перебудував його на обговорення революційної статті Курта Гьоделя.

Знамениті теореми Гьоделя стосувалися перш за все формальної системи, яка описує основу основ математики – множину натуральних чисел. Така система позначається Ar і називається формальною арифметикою.

Перша теорема Гьоделя стверджує: якщо Ar несуперечлива, то Ar неповна.

Друга теорема Гьоделя стверджує: несуперечливість Ar не може бути доведена засобами самої Ar.

Отримані результати були поширені на всі найбільш відомі формально-аксіоматичні системи: Рассела-Уайтхеда, Цермело-Френкеля, Гільберта і т.п. Стало зрозуміло, що кожна достатньо багата несуперечлива система необхідно неповна! Більше того, така неповнота має принциповий характер, її не можна усунути поступовим приєднанням до системи нових аксіом. А для доведення несуперечливості системи внутрішніх її засобів недостатньо, тому ми мусимо з необхідністю використовувати якісь сильніші, зовнішні відносно системи засоби.

Теореми Гьоделя засвідчують принципову обмеженість аксіоматичного методу. Кожна спроба «втиснути» достатньо багату математичну теорію в рамки певної формальної системи неминуче веде до тверджень, які неможливо ні довести, ні спростувати в межах цієї системи.

Таким чином, Гьодель показав, що програма Гільберта повної формалізації математики є нездійсненою. Дуже образно змалював ситуацію, що склалася, відомий математик Герман Вейль: «Бог існує тому, що математика несуперечлива, а диявол існує тому, що ми не можемо це довести».

Знаменитий математик і філософ Бертран Рассел, один з авторів трактату «Принципи математики», зворушливо описав у спогадах «Портрети по пам’яті» свої враження про відкриття Гьоделя: «Я жадав визначеності так, як інші прагнуть знайти релігійну віру. Мені здавалось, що знайти визначеність у математиці можна було з більшою ймовірністю, ніж у будь-якій іншій галузі. Однак справжня ситуація в математиці більше нагадувала байку про слона і черепаху. Створивши слона, на якому міг триматися математичний світ, з’ясувалося, що слон нетвердо стоїть на своїх ногах і тому необхідна ще й черепаха, яка б утримала його від падіння. Але й черепаха виявилася ненадійною… Висновок занадто сумний: ніщо не може створити математичному знанню абсолютну переконливість».

По суті, перша теорема Гьоделя стверджує, що яка б система аксіом не використовувалась, завжди знайдуться питання, на які математика не зможе знайти відповіді, – повнота недосяжна. Ще гіршим є те, що друга теорема Гьоделя говорить про відсутність впевненості в несуперечливості математики, – несуперечливість системи ніколи не може бути доведена засобами лише цієї системи.

У той час як логіки вели свої запеклі дискусії про нерозв’язність, інша частина математичної спільноти сміливо продовжувала свої дослідження з надією, що нерозв’язні проблеми Гьоделя існують лише в найбільш «темних» галузях математики, так би мовити, на її периферії. Вони сподівалися на те, що можливо, такі проблеми не зустрінуться математикам, які досліджують конкретні галузі. Адже Гьодель лише стверджував, що такі твердження теоретично існують, але не навів жодного конкретного прикладу.

І ось в 1963 році передбачений Гьоделем кошмар став реальністю. Пауль Коен, 29-річний математик із США, першим знайшов конкретні нерозв’язні твердження. Здійснивши це відкриття, він вирішив зустрітися саме з Гьоделем, щоб той перевірив правильність його міркувань.

На той час Гьодель був тяжко хворим – діагноз медиків невтішний: паранойя. При зустрічі Гьодель лише трішки відчинив двері, вирвав з рук Коена папери й хутко зачинив двері. Однак через два дні Коен отримав запрошення в будинок Гьоделя на чай – як визнання таланту запрошеного. Маестро ніби-то скріпив доробок молодого науковця печаткою свого авторитету.

Особливий драматизм ситуації надавала та обставина, що деякі з нерозв’язних проблем займають у математиці центральне місце. За іронією долі, Коен довів нерозв’язність саме першої з 23 знаменитих проблем Гільберта, сформульованих ще на початку минулого століття.

Перша проблема Гільберта (або континуум-гіпотеза) належить до задач обґрунтування математики. Вона тісно пов’язана з такими природними запитаннями як «Скільки?», «Більше чи менше?», і практично будь-який старшокласник може зрозуміти, у чому полягає ця проблема. Однак для свідомого розуміння треба знати такі поняття, як еквівалентні множини, зліченні та незліченні множини, потужність множини, континуум.

Перша проблема Гільберта (континуум-гіпотеза). З точністю до еквівалентності існують лише два типи нескінченних числових множин: зліченна множина і континуум.

Іншими словами, перша проблема Гільберта (або континуум-гіпотеза) вимагає з’ясувати питання: чи існує множина проміжної потужності між множиною натуральних чисел і множиною дійсних чисел, тобто чи існує така множина T, де N Ì T Ì R, причому T не еквівалентна ні N, ні R.

Цю проблему досліджували дуже багато математиків. Першим сформулював континуум-гіпотезу німецький математик Георг Кантор у 1878 р. Він неодноразово заявляв, що довів цю гіпотезу, але кожного разу знаходив помилку у своїх міркуваннях.

Із часом з’ясувалося, що перша проблема Гільберта має цілком несподіване розв’язання. Курт Гьодель у 1940 році довів, що континуум-гіпотеза не може бути доведена на основі аксіом арифметики і теорії множин. Згодом, у 1963 році, американський математик П. Коен установив, що континуум-гіпотеза не може бути й спростована. Таким чином, континуум-гіпотеза — приклад твердження, яке не може бути ні доведеним, ні спростованим логічними засобами.

Як же тоді бути з цією гіпотезою? Зазвичай її просто приєднують до вже існуючої системи аксіом. Однак кожного разу, коли щось доводять, спираючись на континуум-гіпотезу, обов’язково вказують, що вона була використана при доведенні.

Мабуть, такий же шлях очікує й інші проблеми, які не можна ні довести, ні спростувати.

Хто ви, містер Гьодель?

Зазвичай, Курта Гьоделя вважають австрійцем, однак він за своє життя неодноразово змінював громадянство. Народився в Австро-Угорщині, але в 12 років прийняв громадянство Чехословаччини після того, як попередня імперія припинила своє існування. У 23 роки Гьодель став громадянином Австрії, а в 32 роки, після захоплення Австрії Гітлером певний час перебував під орудою німців. У 1940 році емігрував до США і прийняв американське громадянство.

Біографи Гьоделя полюбляють порівнювати його з видатним співвітчизником – Людвігом Вітгенштейном, знайомство з яким відбулося на засіданнях знаменитого Віденського філософського гуртка. Обидва мислителі ще в молоді роки прославилися невеликими за обсягом працями, а потім усе життя писали гори манускриптів, коментуючи колись сказане і доповнюючи раніше надруковане. Однак протягом життя вони так і не змогли всьому написаному надати цілісну форму, закінчений вигляд.

Величезний спадок Гьоделя все ще чекає своєї публікації. Проблема полягає в тому, що твори Гьоделя написані в основному так званим габельсберзьким шрифтом – видом курсивної стенографії, популярним у Німеччині в XIX – на початку XX ст., але в наш час мало хто знайомий з ним. Професор Джон Доусон, який досліджує спадок Гьоделя, витратив два роки, щоб розібрати 60 коробок з рукописами і скласти його каталог. Результатом його діяльності стала книжка «Курт Гьодель: життя і творчість».

З особистого життя Гьоделя варто відзначити його знайомство у Відні ще в студентські роки з Адель Прокерт, танцівницею нічного клубу, яка була старшою від нього на сім років. Тривалий час вони приховували свої взаємини і лише незадовго до еміграції офіційно їх оформили, хоча й таємно – так вимагали обставини.

Один із друзів Гьоделя, знаменитий економіст і автор теорії ігор Оскар Моргенштерн, якось зауважив про Адель: «Віденський тип прачки. Однак, мабуть, вона врятувала йому життя». Бездітний союз двох протилежностей – Курта і Аделі – виявився напрочуд міцним і щасливим. Адель раз і назавжди повірила, що її чоловік – геній і зрозуміти його неможливо. Вірила і раділа, що живе поруч з ним.

Карколомною була еміграція до США подружжя Гьоделів у 1940 році. У складні воєнні роки шлях через Францію був закритим. Тому прийшлося обирати інший шлях – спочатку до Москви, потім потягом через Сибір до Владивостоку, далі на пароплаві транзитом через Йокагаму до Америки. Вже в Америці запитали про ситуацію у Відні. «Кепська там кава» – лаконічно відповів Гьодель.

У США допомогли з громадянством і працевлаштуванням друзі – Альберт Ейнштейн і Оскар Моргенштерн. Курт Гьодель став професором у Прінстоні в Інституті перспективних досліджень, де працював і сам Ейнштейн. До речі, засновник теорії відносності часто повторював, що ходив би в інститут лише заради того, щоб мати можливість повертатися додому разом з Гьоделем і обговорювати з ним свої наукові проблеми.

Таке спілкування в русі, мабуть, було й справді досить плідним. У 1951 р. Гьодель, разом із фізиком Швінгером, майбутнім нобелівським лауреатом, був удостоєний першої пам’ятної медалі Ейнштейна за дослідження з теорії відносності.

Цікавий випадок трапився з Гьоделем під час отримання ним американського громадянства. Для цього необхідно було скласти іспит на знання Конституції США. Під час ретельного вивчення такого важливого документу Гьодель знайшов чимало логічних похибок у ньому. Більше того, феноменальному логіку вдалося обгрунтувати теоретичну можливість встановлення диктатури в США, знаходячись в межах чинної конституції.

Коли про це дізнався Ейнштейн, то відразу ж погодився з міркуваннями Гьоделя, однак попросив його на іспиті нікому не доводити недоречності основного закону Америки. Він навіть пообіцяв у подальшому пробачити всі дивацтва, терпіти всі витівки австрійського логіка, якщо той не скаже нічого зайвого екзаменаторам.

Однак на іспиті Гьодель не зміг утриматися від спокуси показати свої логічні здібності і вказав на вади конституції. Лише завдяки втручанню Ейнштейна і Моргенштерна вдалося залагодити ситуацію. До речі, видатний фізик дещо з гумором відзначив, що це був передостанній іспит у житті, а останній – прийдеться тримати вже після її завершення…

До кінця життя Гьодель дуже дивувався, яку велику платню йому призначили в Інституті перспективних досліджень, адже, на думку пересічного обивателя, він просто байдикував. Хоча й був професором, однак не читав лекцій, не проводив семінари, навіть нічого не друкував. Лише займався однією «дрібницею» – напружено розмірковував над проблемою: в яких межах людське мислення може пізнати саме себе, прагнув «зробити для метафізики те ж, що Ньютон зробив для фізики».

Щодо публікацій, Гьодель був дуже вимогливим до себе. Наприклад, протягом 1953-1959 рр. публікація його книжки шість разів відкладалася з-за того, що автор брався переробляти її заново. Нарешті не витримав видавець і розірвав усі відносини. До речі, Моргенштерн якось згадував, що умовляти Гьоделя – все одно, що «заглядати у потойбічний світ…»

До появи комп’ютерів Гьодель поставився байдуже, на відміну від таких знаменитих математиків – і майже його ровесників, – як Джон фон Нейман і Алан Тьюринг. Праці зі спадку вченого показують, що він ігнорував і новітні розробки в галузі теорії множин і логіки.

Усе рідше почав приймати їжу, придумував дивні дієти – наприклад, харчувався лише апельсинами, молоком і водою – і нарешті помер 14 січня 1978 року в Прінстоні, знаходячись у кріслі лікарняної палати. У свідоцтві про смерть написано, що вона настала «від недоїдання та виснаження, викликаних психічними відхиленнями».

Роком раніше Моргенштерн написав: «Гьодель – один з найбільш яскравих людей нашого століття».

Лише через рік після смерті Гьоделя з’явилася книжка Дугласа Хофштадтера «Гьодель – Ешер – Бах», яка перетворила його в культову фігуру в інтелектуальному середовищі, а також розтлумачила мільйонам людей сутність теорем про неповноту.

Ця книжка й справді вражає – в ній поєднано глибину думки і блискучий літературний стиль, знайдено паралелі між музикою Баха, картинами Ешера та революційними відкриттями Гьоделя. Після прочитання цієї книжки виникає прагнення по-іншому дивитися на світ і на самого себе. Перекладена на 17 мов, вона приголомшила світову інтелектуальну спільноту й відразу ж стала бестселером.

Внесок ученого в розвиток науки є насправді велетенським. Плідність його ідей слугує потужним стимулом для нових досліджень. І однією з ознак освіченості сучасних людей має бути не лише розуміння того, що Гоголь – це не Гегель, а й скажімо того, що Гьольдер – це далеко ще не Гьодель (ці імена, на жаль, плутають чимало володарів університетських математичних дипломів)…

Література

1. Крайзель Г. Биография Курта Геделя. – М., 2003.
2. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. – М., 1981.
3. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах – эта бесконечная гирлянда. – Самара, 2001.

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук