По-перше, розв’язок цієї на вигляд простої задачі викликав труднощі, і навіть докори. Крім того, автор розкритикував стандартний підхід оцінки точності і послідовно буде дати правильне рішення, вільне від недоліків. Нарешті, треба пояснити, яке відношення має ця фізична задача до безперервності.
Зауважу, один серйозний колега-викладач навіть висловив міркування, що у статтях, які пишуть для широкого кола пересічних читачів, не можна згадувати про не прийняті науковою спільнотою положення. І наполягав, що у таких статтях слід обов'язково наводити рішення пропонованих задач.
Щодо «не прийнятих науковою спільнотою», є різні думки. Відомі випадки, коли навіть великі фізики до кінця життя так і не приймали загальноприйнятих теорій.
З педагогічної точки зору, аби зацікавити наукою іноді, гадаю, корисно і спростити, і торкнутися нерозв’язаних задач. Так робили й великі фізики. І взагалі треба дати юному читачеві можливість самому трохи поміркувати, а не відразу підглядати у відповідь.
Коли рішення наведено, виникає велика спокуса відразу з ним познайомитися (і після цього зовсім забути про задачу, навіть дуже цікаву).
Отже, наведемо рішення нашої задачі про черепаху. Для розв’язку зручно користуватися поняттям роздільної здатності чи роздільності, яке має наочний зміст.
За роздільністю розуміють величину зворотну до відносної похибки вимірювання, яка сама є відношенням абсолютної похибки вимірювання до вимірюваного значення.
Зміст цього поняття в тому, що воно виражає число можливих для вимірювання, таких, які можна відрізнити, значень вимірюваної величини. Пояснимо на прикладі. Нехай ми вимірюємо довжину зошита 25-сантиметровою лінійкою, з поділками, нанесеними через 1 см. Тобто, у нашому випадку абсолютна похибка вимірювань ± 1 см.
Тоді, при значенні вимірюваної величини 16 см, кількість вимірюваних значень, що можна у досліді розрізнити з цією лінійкою, - теж 16. Роздільна здатність в одиницю (1) саме і виражає абсолютну похибку таких вимірювань.
Але чому значень, що можна розрізнити 16, а тому, що, наприклад, значень 13,2 і 13,8 см такою лінійкою розрізнити вже не можна. Достовірно за такої точності можна розрізнити лише 16 значень. І роздільна здатність такого виміру (зворотна відносна похибка) безрозмірна величина 16см/1см = 16.
Нагадаємо умову. Потрібно знайти достовірне значення швидкості (v) черепахи (непрямого виміру), якщо відомі виміряні (прямі виміри) значення пройденого нею шляху (s) і часу руху (t), а також абсолютні похибки цих прямих вимірів.
Наша черепаха проповзла шлях у s = 1 м за час t = 30 хв. При цьому шлях вимірювали з абсолютною похибкою Δs = ± 0,01м, а похибка вимірювання часу
Dt = ± 1хв. Потрібно знайти абсолютну похибку виміру швидкості Δv.
Чистий математик відповів би так. Середня швидкість черепахи:
v = 1/30 = 0,0 (3) = 0,033333 ... (м/хв).
Точність такого розрахунку, може бути будь-якою, на будь-який смак. Звісно, фізика такий розв’язок задовольнити не може.
Виникає суто фізичне питання: скільки вірних знаків після коми слід залишити у значенні середньої швидкості при заданих похибках прямих вимірювань (Δs і Δt)?
Зауважимо, що відомий метод розрахунку абсолютної похибки з використанням часткових похідних не дозволяє отримати відповідь. При розрахунку цих похідних виникає необхідність відповідати на таке ж питання. Нижче ми розглянемо це питання докладніше.
Нагадаємо відомі визначення. Перш за все, про непрямий вимір. Якщо при визначенні швидкості (v = s/t), час і пройдений шлях вимірюють безпосередньо приладами, лінійками і годинниками, - це прямі виміри. А ось значення середньої швидкості знаходять розрахунком за відомою формулою, це непрямий вимір.
Непрямий вимір не є виміром у звичайному розумінні. Це просто розрахунок за формулою та похибка розрахунку вимагає правдоподібної оцінки. Без такої оцінки, формула - чиста математика, що не має відношення до практичних застосувань.
Ще такий приклад. Знаючи початкове положення тіла та його початкову швидкість (їх можна виміряти безпосередньо - це прямі вимірювання), за допомогою теорії (механіки) можна знайти його положення в будь-який момент часу (це непряме вимірювання - розрахунок).
Іншими словами, маючи потрібні прилади, можна, задати вихідні умови з певною точністю, а потім за допомогою математичних моделей, отримати формули для величин, для яких вже немає необхідних приладів.
З формул, з допомогою розрахунків, отримують значення шуканих величин – це непрямий вимір та їх точність можна лише розрахувати. Такий розрахунок має у життєвих ситуаціях не останнє значення, наприклад, для розрахунку траєкторії ворожої ракети.
Як бачимо, знаходження похибки непрямого виміру дуже важливо у обчислювальній техніці, що дозволяє створити моделі (алгоритми) вирішення будь-яких фізичних та прикладних задач.
Колись завідувач кафедри комп'ютерних наук, професор, на моє запитання про кількість вірних знаків у результаті обчислення за алгоритмом усміхнувся і сказав, а скільки вам потрібно 16, 32, …
Відповідь проста, але наївна, кількість вірних знаків у розрахованому значенні залежить, навіть при значних можливостях машини, не від швидкодії її процесора, а від введених (задаються конкретними приладами) в комп'ютер результатів прямих вимірювань, виконаних з певною точністю.
При цьому достовірних значень може і не виявитися зовсім, хоча розрахунок і призведе до якогось числа. Що таке можливо, ми побачимо нижче на прикладі.
Зрозуміло, що формула (непрямий вимір) тільки тоді має сенс для застосувань, коли похибка обчислення за цією формулою не перевищує розрахованого по ній значення самої шуканої величини.
У цьому полягає принцип непрямої спостережуваності. Якщо похибки описувати введеним вище поняттям розділності, то роздільна здатність цього непрямого виміру має не перевищувати одиницю. Це абсолютна похибка виміру в безрозмірних одиницях.
Ми трохи відволіклися на важливі означення, тепер до розв’язку. В одиницях роздільної здатності швидкість черепахи є
v/Δv = s/Ds : t/Dt = 1/0,01 : 30/1 = 100/30 = 3,333…
Але 0,333... слід відкинути, оскільки за принципом непрямої спостережуваності має бути v/Δv ³ 1.
Як бачимо значень, що спостерігаються, тільки 3, тобто, роздільна здатність швидкості - 3. Зворотна нерівність означало б, що Δv ³ v, що не має фізичного сенсу. І у такому випадку відрізнити значення швидкості від сусідніх значень з допомогою наявних приладів нема можливості.
Наведемо приклад неможливості виміру (хоча, здавалося б, точність одного з прямих вимірів ми істотно підвищимо). Нехай точність вимірювання часу не 1хв, а 0,01хв, тоді
v/Δv = 1/0,01: 30/0,01 = 100/3000 = 0,0333…
Спостережуваних значень швидкості просто немає (Δv = 1 ³ v = 0, 0333...).
Зауважимо в наших розрахунках роздільні здатності шляху та часу різні, тобто між множинами значень шляху і часу, що спостерігають, немає взаємно-однозначної відповідності.
Тут ми приходимо до того, про що говорили у статті про безперервність. У наших розрахунках, щоправда, використані конечні множини, але властивості, згідно з котрим кожним двом значенням аргументу відповідає два значення функції, вже немає - «немає безперервності».
Зазначимо, що абсолютна система одиниць, в якій за одиниці вимірювання прийняті абсолютні похибки вимірювання, дуже зручна для аналізу точності вимірювань.
В інших випадках, коли зручні інші системи одиниць, до них неважко перейти, помноживши відповідну величину на коефіцієнт переходу. Наприклад, перейти до секунд, якщо абсолютна похибка 1 хвилина можна за допомогою коефіцієнта 60. 1хв = 60 сек.
Тепер, щоб зрозуміти, де прихована помилка розрахунку точності непрямих вимірів, звернімося до стандартної формули розрахунку помилки непрямого виміру мовою роздільної здатності. Введемо роздільну здатність швидкості V = v/Δv, шляху S = s/Δs та часу T = t/Δt. Зазначимо, що S і T завжди більші за 1. Тоді
ΔvС = |∂v/∂s|Δs + |∂v/∂t|Δt = Δs/t + sΔt/t2 = (s/t)(1/S + 1/T) = v(1/S + 1/T),
де індекс "С" означає стандартний.
Але можна обійтися і без похідних, розраховуючи оцінку максимальної помилки, як запропонував один мій колега (просив його не називати):
ΔvМ = vмакс - vмін = (s + Δs)/(t - Δt) - (s - Δs)/(t + Δt) =
= v [2Т2(1/S + 1/T)/(Т2-1)] > ΔvС,
де індекс "М" означає максимальний.
У кожній з цих формул справа стоїть швидкість v, а вона, як ми бачили вище, не має сенсу, а отже, не мають сенсу і наведені формули розрахунку похибок.
Але що цікаво, розрахунок значення швидкості та похибки за цими формулами завжди можна порахувати і отримати певні числові значення, які і приймають за значення шуканої швидкості та її похибки. При цьому, наприклад, в останній формулі різниця виразів для швидкості завжди менше значення швидкості, що надає правдоподібність розрахунку похибки.
На завершення висловлю деякі загальні думки про роль точності непрямих вимірювань. Відомий факт - результат, що отримав видатний фізик А. Майкельсон у своєму знаменитому досліді з визначення швидкості світла в різних системах відліку, а це наслідок розрахунку (!), дав однакові значення швидкості.
Тобто такі, які при наявній у автора точності непрямих вимірів (розрахунків) швидкості, не можна було розрізнити (тобто непрямо спостерігати).
Але якою методикою оцінки точності розрахунку користувався Майкельсон?
Якби відомий фізик володів приладами абсолютної точності, то результати його дослідів можна було б покласти в основу остаточної фізичної теорії природи, якоїсь релятивістської квантової теорії поля. На жаль, а може, на щастя, це не так.
Із зростанням технологічних можливостей людини, точності вимірювань будуть зростати. І питання точності непрямих вимірів завжди матимуть величезне значення у формулюванні майбутніх теорій.
Вважати, що можлива остаточна теорія, це нехтувати реальними людськими можливостями, які завжди були і будуть обмеженими. І це не погано, а чудово, науки про природу завжди залишатимуться невичерпними.
Як видно з наведеного вище розрахунку все залежить від наявних приладів певної точності. І при вищій точності те, що не можна було розрізнити, може стати як доступним спостереженню, так і залишитися не спостережуваним.
Олександр Пальті, ст. наук. співробітник з фізики ВТНП
Засновник та видавець