А тепер перейдемо до основної теми і запитаємо, що зміг додати геніальний англійський вчений до такого простого закону? У чому його внесок?
Згадаймо сам закон: видовження твердого тіла пропорційно прикладеній до нього силі.
Що тут додати? У найпростішому записі
|
F = kx, |
(1) |
де F прикладена до тіла сила, х – видовження тіла під дією цієї сили.
Сенс коефіцієнта k стає зрозумілим, якщо відобразити його відношенням k = F/х, тобто k – це сила, що викликає одиничне видовження (k = F/1 = F), зрозуміло, що слід враховувати розмірності (розмірність [k] = Н/м у системі одиниць СІ).
Роберт Гук (1635-1703) насправді дав найпростіший математичний опис поведінки під дією постійної сили одновимірного тіла. Наприклад, гумової нитки, тонкого довгого твердого стрижня або довгої пружинки.
У такому описі не враховується, власне кажучи, тривимірна структура тіла. Що це означає? Справжня нитка або стрижень мають перетин (майданчик з двома вимірами – довжиною і шириною), який може змінюватися вздовж його довжини (третє вимірювання).
До того ж сила може бути різною (неоднорідною) за перерізом стрижня і мінятися вздовж його довжини. При розгляді реальних тіл потрібен складніший, більш докладний опис.
Закон Гука припускав як сталість площі перетину тіла, так і сталість сили по цьому перерізу. А якщо ці припущення не виконуються? Для вивчення деформацій тіл із складнішою формою і під дією змінних у просторі та часі сил, виникає необхідність локального тривимірного (з урахуванням параметра час – чотиривимірного) опису.
Зрозуміло, що простого коефіцієнта жорсткості тут недостатньо. Якщо прикладені сили змінюються за перерізом, вводять іншу силову характеристику – тиск. Тиск – це сила, що припадає на одиницю площі деякого обраного в тілі майданчика, де розглядають деформації, локальна характеристика.
Така величина може змінюватися за перерізом і має сенс розглядати її на настільки малій ділянці площі, на якій силу можна вважати сталою. Виходить так, що коефіцієнт жорсткості вже залежить від місця (точки), де прикладена сила. Тобто є функцією точки. І сила, звісно, також може бути функція цієї точки.
Закон Гука виявляється таким чином справедливим на малій ділянці поблизу деякої точки на обраному майданчику. Якщо записати цей закон для площі, то замість сили виникне тиск (р) або, як його називають у складнішій теорії, напруженість. Замість видовження – відносне видовження (х/L), записують це так:
|
р = Е (х/L), |
(2) |
де х – видовження тіла у цій точці (вздовж певного напрямку, наприклад, вибирають вісь Ох), L – деякий характерний розмір тіла (у разі стрижня – його повна довжина). А ось величину Е = Е(х, у, z), що замінила коефіцієнт жорсткості, і є, як ми зрозуміли функцією точки r (її координат х, у, z), називають модулем стиску або розтягування Юнга.
Тепер стає зрозумілим узагальнення, яке зробив Томас Юнг (1773-1829).
«У цьому місці жаба стрибає у воду» – любив згадувати жартівливу ілюстрацію улюбленої приказки свого вчителя М. Борна проф. Ю.Б. Румер, лекції якого мені пощастило слухати у молодості. Український еквівалент виразу: «Ось де собаку зарито».
Таке, здавалося б, просте перепозначення відкривало абсолютно нові можливості. Найпростіше застосування – сопромат (опір матеріалів), предмет, яким у технічних вишах лякають першокурсників. Насправді це лише найпростіше ускладнення. Сопромат вивчає деформації тіл нескладної форми, під дією найпростішим чином прикладених, але не обов'язково сталих сил (навантажень).
Зауважимо, що часто цієї науки виявляється досить для розрахунку міцності автомобілів, мостів, будівельних конструкцій та багато іншого.
Наступний крок – теорія пружності, яка розглядає складні деформації тіл під дією довільно накладених сил, до того ж таких, що змінюються в часі. Тут вже виникають, локальні диференціальні рівняння у часткових похідних (тут досить сказати, що це вже непроста математика), що дозволяють розв’язувати складні тривимірні задачі.
У молодості автору довелося розв’язувати задачу про термопружні напруження (що виникають при нагріванні тіл) і деформації в лінзах оптичних приладів, зумовлених сонячним випромінюванням (оптичний прилад знаходився в космосі). Тут довелося мати справу з так званою теорією оболонок, не самий простий розділ теорії пружності.
Теорію оболонок застосовують, наприклад, при конструюванні складних арок, склепінь, складних стель та інших будівельних конструкцій. Таким чином, Т. Юнг, здавалося б, просто позначивши іншими літерами параметри в законі Гука, відкрив величезні можливості для технічних та наукових додатків.
А закон Гука – це по суті, наближення, яке, як вище зазначалося, передбачає постійну по всій довжині тіла площу його перерізу і однакову в будь-якому перерізі довгого тіла силу. Саме таке спрощення вивчають у школі.
Тепер, переходячи до другої частини нашої розповіді, з’ясуємо лінійність закону. Чому скажімо закон (1) не має вигляду F = k1x2, F = k2x3 чи якийсь більш складний, де справа стоїть поліном або складна функція від х.
Насправді на досліді було встановлено, що при навантаженнях більше деякого певного, деформація починає швидко зростати (залежність стає нелінійною) і при деякому критичному навантаженні тіло руйнується.
Причому тут точність виміру сили чи видовження, згадані в назві?
Припустимо, що точність виміру видовження або сили – конечна (тобто Dх або DF не скільки завгодно малі). Тоді графік функції у = kx – це вже не лінія, а смуга, завширшки Dх (чи висотою DF). Але в таку смугу можна вписати будь-яку функцію виду: у = knxn.
Але для отримання заданої точності найпростіший опис це лінійна функція. Тому, якщо в деякому діапазоні величин сил у таку експериментальну смугу, шириною Dx – вписується пряма лінія, то цього достатньо, щоб користуватися лінійним законом Гука. Тобто залежність сили від видовження в цьому випадку виявляється лінійною.
Якщо ж зі збільшенням діапазону сил лінійна залежність у цю смугу не вписується, то в цьому діапазоні сил лінійний закон Гука не працює. Аналогічні міркування можна провести, розглядаючи смугу заввишки Δу (ΔF). У цьому випадку можна визначити критичний діапазон для величин видовження, при яких працює закон Гука.
Ще зауважимо, що сам закон Гука (його алгебраїчний вираз), без припущень про точність, можна застосовувати для як завгодно малих значень похибок Δх і ΔF. До того, для визначення величини коефіцієнта жорсткості k потрібен непрямий вимір. А як нам відомо, у цьому випадку, при деякому співвідношенні Δх і ΔF, коефіцієнт k залишається невизначеним, а тому закон Гука не працює.
На мою думку, Томасу Юнгу історики науки приділяли недостатньо уваги. Навіть на його батьківщині, в Англії. Вважаю це наслідком того, що вчений сильно випередив час і не знайшов належного розуміння у сучасних йому вчених. На доказ наведу ще одне його відкриття, на мій погляд, найважливіше, за яке його всі визнали ще за життя.
Мається на увазі пояснення явища інтерференції, з яким не зміг впоратись навіть великий І. Ньютон. Може висловлювана думка здасться трохи несподіваною, але все ж таки. У своєму знаменитому досліді з двома щілинами (так звана схема Юнга) Т. Юнг, зробив на перший погляд просте ускладнення, він пустив світло на дві щілини, попередньо пропустивши його через одну щілину.
Цю «дрібницю» сьогодні називають сучасним словом – когерентність, без цієї властивості немає сучасної лазерної техніки. Теорію індукованого випромінювання, що лежить в основі лазера, заклав у 1916 році А. Ейнштейн. Але лише через 40 років з'явилися перші лазери, і вирішальну роль у цьому відіграли когерентні потоки випромінювання.
Тут можна зробити одне зауваження. Сьогодні когерентними вважають хвильові гармоніки з певною довжиною хвилі і частотою, але Т. Юнг вирізав своєю першою щілиною взагалі кажучи цілий спектр хвиль, що йдуть від Сонця. Тобто, когерентними можуть бути потоки випромінювання зі складним складом гармонік (спектром).
Взагалі цей великий учений гідний окремої розповіді. Це недогляд сподіваємося виправити у одному з наступних номерів нашого журналу. Тут же тільки зазначимо, що крім наукових заслуг, цей вчений був чудовою доброю людиною. На відміну від І. Ньютона і Р. Гука, які сперечалися за пріоритет у різних відкриттях, Т. Юнг (пояснив інтерференцію) і О. Френель (пояснив дифракцію) дуже поважали один одного і в них склалися найтепліші відносини.
В статті є над чим поміркувати, тому побажаю вдачі на цьому шляху тим, хто зацікавиться.
О. Пальті, ст. наук. співробітник з фізики ВТНП
Засновник та видавець