Так було і з математичним аналізом. Великі геометри XVII-XVIII століть (тоді так називали математиків) І. Ньютон, Г. Лейбніц, Л. Ейлер, Ж. Д¢Аламбер та інші сміливо бралися за питання з будь-якої галузі теорії та практики і не дуже дбали про суворе обґрунтування своїх робіт.
«Ідіть уперед і віра прийде», – говорив Д¢Аламбер. Що дуже примітно, вони рідко помилялися. Мабуть, мали якусь незбагненну природну інтуїцію.
У XIX столітті настав час обґрунтування створених методів, знаходження меж їх застосування та подальших узагальнень. Для цього потрібний був не менший, ніж відкривачам, зліт фантазії та сміливість думки.
Першим на цей шлях вступив «Коперник геометрії» М.І. Лобачевський (1792-1856). На жаль, його ідеї набули повної сили тільки після його смерті. Зауважимо, сміливості забракло навіть «королю математиків» К. Гаусу (1777-1855), який прийшов до подібних ідей, але не наважився їх оприлюднити.
Щоправда, треба віддати йому належне, він опосередковано схвалив роботу Лобачевського, запропонувавши прийняти його до математичної спільноти. Доля Миколи Івановича склалася трагічно. Він помер сліпим, відстороненим від своєї дитини – університету, врятованого ним від чуми, який він підняв на великий, на ті часи науковий рівень.
Можливо ще трагічніше склалися долі творця теорії груп Е. Галуа (1811-1832) та автора багатьох відкриттів Н.Х. Абеля (1802-1829) Вони залишили цей світ зовсім молодими при тому, що відкрили нові шляхи математики, але також не дочекалися до визнання своїх ідей.
Серед піонерів боротьби за обґрунтування та чистоту математики поряд з іменами К. Вейєрштрасса, К. Гаусса, П.Л. Чебишева, девізом яких була «обґрунтованість, обґрунтованість і ще обґрунтованість» ми з вдячністю згадуємо великого трудівника науки Огюстена Коші (1789-1857).
Великому вченому обов'язково притаманна якась особливо яскраво виражена риса. Ця риса притаманна не тільки створеній ним науці, але відбивається в його загальнолюдській поведінці.
Такою властивістю О. Коші в математиці була відданість ідеї безперервності. У суспільному житті – це прихильність до певного типу світоустрою. Таким він бачив монархічний лад, який підтримував і якому підкорив, незважаючи на життєві негаразди, все своє життя.
І тут не обійшлося без парадоксу. О. Коші дотримувався консервативних поглядів. Але чому тоді він викупив на свої обмежені, на той момент, кошти, з боргової в'язниці і завжди підтримував нашого співвітчизника М.В. Остроградського (1801 – 1861), якого, до речі, вигнали з університету за волелюбство. Мабуть, тут не останню роль відіграла його велика відданість математиці, яка була для нього пріоритетною.
Про його працездатність можна складати легенди, іноді щотижня він надавав до Паризької Академії наук новий мемуар, легко переходячи від однієї області знань до іншої. За кількістю виконаних робіт його можна порівняти хіба що з Л. Ейлером або О. Бальзаком, автором 90 томів «Людської комедії».
За його ґрунтовними підручниками: «Курс аналізу», «Лекції із застосування аналізу до геометрії» ще багато десятиліть у вищих навчальних закладах викладали математичний аналіз. У часи О. Коші поняття безперервності, про яке піде розмова, мало з'явитися тільки завдяки дивовижній інтуїції, яка притаманна великому математику.
Перед тим, як дати визначення цього поняття, торкнемося коренів його виникнення. Труднощі, з якими неминуче повинні були б зіткнутися вчені при створенні математичного опису реальності, полягали в неприпустимості в просторі порожнин, розривів, вакууму.
Колись у молодості, намагаючись розібратися в математичному аналізі, знайшов перший том ґрунтовного підручника Г.М. Фіхтенгольця "Основи математичного аналізу". Чесно зізнаюся, спроба була невдалою. Залишився (і на довгі роки) незрозумілим сенс перетинів Дедекінда (це один із засобів визначити неперервність). Навіщо потрібні ці маніпуляції з розбиттям чисельної множини точок.
Сьогодні причину мого нерозуміння однозначно пов'язую з цією самою безперервністю. Її запроваджували багатьма засобами. Наприклад, професор Ю.Г. Решетняк, лекції якого з сучасного аналізу слухав в університеті, дав 4 чи більше різних визначень безперервності, і довів їхню еквівалентність. Чому стільки уваги цьому поняттю?
Зараз можу впевнено сказати: справа у спробах суворого доказу відсутності у реальному просторі порожнеч між його точками. Адже якщо є розрив, то не можна знайти похідну, тобто локальну зміну одного параметра зі зміною іншого (наприклад, шляху з часом, температури з координатою і таке інше). Це дуже важлива для фізики та техніки характеристика.
Одне з перших визначень безперервності саме запропонували, мабуть, незалежно Б. Больцано (трохи раніше) та О. Коші, який у своєму курсі широко використовував це поняття, можна сказати, надав йому життя.
Щоб запровадити поняття безперервності, ці вчені розглядали послідовність точок, розташованих поблизу певної точки? Властивість безперервності простору поблизу будь-якої точки, тобто відсутність розривів, дозволяла, переходячи від точки до точки (що належать цій послідовності) наблизиться до обраної точки, як завгодно близько.
Визначення стає дієвим, якщо безперервність однієї величини пов'язана з безперервністю іншої. Інтерес надавала безперервність функції, як відповідності між множинами точок.
Важливо у визначенні безперервної функції те, що кількості значень аргументів функції і значень самої функції, між якими встановлюється відповідність, мають бути дуже близькими.
Вочевидь, якщо кількості елементів множин – значень аргументу і значень функції – різні та конечні, то між ними не можна встановити однозначної відповідності.
Інша справа, якщо множини значень нескінченні. Пов'язано це з гіпотезою континууму Г. Кантора (1846-1918), яка надавала можливості встановлення потрібної відповідності.
Розглянемо функцію у = у(х) = х3 (ще записують х → х3). На перший погляд множина значень аргументу з інтервалу числової осі [1,2] менша за множину значень функції у(х), що приймає значення в інтервалі [1, 23 = 8], який містить в собі інтервал [1,2].
Але у разі множин з нескінченним числом елементів така можливість з'являється. Відповідно до гіпотези континууму, відповідність х → х3 взаємно-однозначна (стисло позначають, як «1-1»). Але нагадаємо, що будь-який непрямий вимір у фізиці – це функція на конечній множині елементів.
А в основі можливості такої відповідності якраз і лежить властивість безперервності функції. Дамо наочне його пояснення на прикладі нашої функції. Для цього скористаємося мовою «ε - δ» К. Вейєрштраса, яка еквівалентна визначенню безперервності по Коші за допомогою послідовностей, але виникла трохи пізніше.
Власне, поняття безперервності і ввели для ліквідації порожнеч у просторі значень величини х. Тобто, припускаючи, що між значеннями змінної x немає порожнеч, доводили, що між значеннями функції їх теж немає. Це ми покажемо на прикладі нашої функції.
Отже, нехай два значення аргументу дуже близькі: х2 - х1 ≤ δ, де δ як завгодно мале позитивне число, тоді, як нескладно бачити, на інтервалі [1,2]
у(х2) - у(х1) = х23 - х13 = (х2 - х1) ( х22 + х1х2 + х12) ≤ δ (х12+ х1х2 + х22) <
< δ max(х12+ х1х2 + х22) = δ (22 + 2 2 + 22) = 12 δ ≡ ε
Очевидно, якщо δ як завгодно мале, то і ε також має бути як завгодно малим. Просто кажучи, як між значеннями аргументу, так і між значеннями функції немає прогалин (порожнеч).
Властивість множин, яку виражає гіпотеза континууму, ввів у математику видатний творець теорії множин Г. Кантор. Суть цієї гіпотези в тому, що існують множини тільки двох видів: злічені (типу 1, 2, 3, ... – їх елементи можна перерахувати) і континуальні з більшою кількістю елементів (наприклад, кількість точок в інтервалі [0,1], з урахуванням раціональних, ірраціональних та інших). При цьому множин із проміжною потужністю (числом елементів) немає.
Наведемо деякі факти з історії безперервності. Увага безперервному та дискретному приділяли ще вчені античності. Філософи Стародавньої Греції замислювалися над питанням поділу тіл у просторі і про розбиття часу їх існування.
Демокріт, Левкіп, Лукрецій висловлювали думку про те, що будь-які тіла складені з атомів, тобто схилялися до дискретного уявлення про світ. Аристотель розрізняв ті, що йдуть по порядку, або що стикаються, і безперервне.
Парменід та Геракліт стверджували безперервність буття. Апорії (парадокси) Зенона Елейського (490 – 430, до н.е). відчутно показали суперечливість уявлень про дискретне і безперервне. Завдяки цим апоріям вже кілька тисячоліть не згасає інтерес до проблеми безперервності простору, часу та руху.
Література, присвячена подоланню парадоксів, незліченна. В одній із статей ми привели можливий підхід до апорії «Стріла, що летить» (КЗ, №№ 6 і 7-8, 2020). Незважаючи на уявну простоту, вона досі збуджує уяву вчених.
Нагадаємо суть цієї апорії. В кожний момент свого руху стріла займає певне фіксоване положення, тобто в цей момент нерухома. І оскільки вона нерухома в усі моменти часу свого польоту, то немає моментів часу, коли стріла рухається, а значить, вона і в цілому нерухома.
Одним із перших при аналізі апорій Зенона Арістотель у 5 книзі своєї «Фізики» запропонував принцип безперервності. «Я говорю про безперервне, коли межа, за якою стикаються обидва, один слідуючий за іншим, предмети, стає для них спільною і, як показує назва, не переривається...».
Тобто, безперервність по Аристотелю – це певний тип взаємного розташування сусідніх однорідних елементів з деякої множини, відмінний від понять послідовності і дотику.
Якщо предмети торкаються, але при цьому кожен зберігає свої межі і ці межі не зливаються в одну загальну межу, то ми маємо справу з суміжністю. Якщо ж межа двох предметів (відрізків лінії, «інтервалів» часу і т.д.) виявляється загальною, то йдеться про безперервність.
Аналізом безперервного та дискретного займалися філософи середньовіччя. Вони розвивали логіку, поглиблювали поняття континууму, нескінченності. Можна згадати Фому Аквінського (1225-1274), Дунса Скотта (1265-1308), Вільяма Оккама (1281-1349), Томаса Брадвардіна (1290-1349), Жана Бурідана (1300-1358).
Рене Декарт (1596-1650) вважав, що простір і час складаються з точок і моментів на зразок «тут» і «тепер».
Готфрід Лейбніц (1646-1716) спочатку приймав позицію Декарта. Але після 1676 року він, полемізуючи з Галілеєм, про континуальність простору і часу, пише: «... немає такої частини матерії, яку не можна було б реально розділити на безліч частин, і, отже, немає такого малого тіла, в якому не містився б цілий світ незліченних творінь... Тобто матерію, простір і час можна дійсно ділити до нескінченності».
Як бачимо, великий філософ і математик висловлював у різний час різні думки про зміст обчислення нескінченно малих.
Іноді він розглядав диференціал dx, як конечний, але дуже малий відрізок, принаймні пропорційний конечному відрізку.
У 1692 році Лейбніц писав Фуше про необхідність визнання принципу безперервності Арістотеля: «Ви маєте рацію, кажучи, що ... не існує такої як завгодно малої величини, що в свою чергу не можна було б розділити на ще менші частини, кількість яких нескінченна ... Втім, немає нічого поганого і в припущенні, що це розділення може бути вичерпане, хоча і не бачу в цьому жодної потреби».
З наведеного висловлювання видно невпевненість вченого (дуалізм) при виборі між дискретним і безперервним.
Через багато років, на початку виникнення квантової теорії Н. Бор прийшов до необхідності, для відповідності досліду, введення принципу корпускулярно-хвильового дуалізму (матерія у мікросвіті або безперервна, або дискретна).
Тут дуже хочеться додати деякі думки. А що насправді? Можлива відповідь полягає в тому, що людські можливості обмежені та обумовлені доступною йому точністю прямих вимірів. Конструкції типу «як завгодно малих», але не рівних нулю кількостей у вигляді δ, ε, dx, – це ідеалізація навколишнього світу, яку наш дослід не може підтвердити чи спростувати.
Пізніше Лейбніц вважав нескінченно малі ідеальними поняттями, зручними фікціями. Нескінченно малі, менші будь-якої конечної величини, і хоч вони не нульові, вони «незрівнянні» в тому сенсі, що на яку б конечну величину їх не помножити, результат не буде конечною величиною. Це і є канторівська взаємно-однозначна відповідність нескінченних множин певного типу.
Лейбніц називав проблему континууму «вузлом, який Аристотель приховав, Галілею не вдалося розв'язати, а Декарт розрубав». Загалом, ніхто, і Лейбніц, зокрема, з проблемою не впорався.
Темні міркування Лейбніца стають зрозумілими, коли ми усвідомимо, що у звичайному людському досліді безперервності просто немає. Немає взаємної однозначності між множинами різних прямих вимірів. А це веде до розриву значень вимірюваного параметра в кожній точці.
Історик математики С.С. Демидов виділяє два моменти принципу безперервності у Лейбніца.
Перший міститься у словах листа Лейбніца Варіньйону: «…якщо впорядковані дані (аргументи функції – прямі виміри), то впорядковані і ті, що отримані розрахунком (значення функції – непрямі виміри). На мові аналізу, безперервна функція відображає залежність однієї характеристики явища від іншої, у всі моменти часу».
Другий міститься в словах з того ж листа. Коли різниця між двома значеннями (аргументами функції), що представляють те, що дано, стає як завгодно малою, то (для безперервності) необхідно, щоб різниця між відповідними їм значеннями функції, також стала як завгодно малою. А це якраз і є трактування безперервності за Больцано-Коші-Вейєрштрасом.
Обидва наведені аспекти виражають той факт, що між безліччю значень аргументів та функції існує 1-1 відповідність. І її наслідком є властивість безперервності відповідних множин.
Встановити 1-1 відповідність дозволяє гіпотеза континууму Г. Кантора. Але насправді множини значень будь-якої функції та її аргументів конечні і 1-1 відповідність це велика рідкість. Різні незалежні змінні (аргументи функції) найчастіше мають різне число вимірюваних значень, і це залежить тільки від точності прямих вимірювань кожного з цих аргументів. Така відповідність існує, по суті, лише у одної, тотожної функції: у(х) = х.
Наприклад, множини значень шляху і часу можуть бути різними і як у цьому випадку знайти аналог миттєвої швидкості (похідної)?
Якщо гіпотетично необмежено збільшувати множини значень спостережуваних, ми прийдемо до гіпотези, альтернативної канторівській, наприклад, у такій формі: будь-які дві нескінченні множини, що відрізняються хоча б одним елементом, не еквівалентні. А отже, і властивість безперервності тут виникнути не може.
Зауважимо, що така альтернативна канторівській гіпотезі континууму, як показав американський математик П. Коен, так само несуперечлива, як і канторівська. На цьому несподіваному висновку зупинимося. А далі починається найцікавіше – як же обійтися без безперервності, якої насправді, на досліді не існує?
Є над чим замислитись.
О. Пальті, с.н.с. з фізики ВТНП
Засновник та видавець