Ще один генератор середніх величин
Генератори бувають двох видів…
генератори і дегенератори
Повернемось до задачі про середню гармонічну. Звернемо увагу на те, що якби автомобіль їхав весь свій шлях (туди й назад) із середньою гармонічною швидкістю
vc = 2/(1/v1 + 1/v2),
то він витратив би на проходження шляху той самий час. А й справді,
t = 2s/[2/(1/v1 + 1/v2)] = s/v1 + s/v2 = t1 + t2.
Роздуми над встановленою властивістю середньої гармонічної приводять до корисного поняття «числової відповідності».
Розглянемо функцію двох змінних z = f(x1,x2). Число с зветься числовою відповідністю чисел х1, х2 по відношенню до функції f, якщо f(c,c) = f(x1,x2). На інтуїтивному рівні числова відповідність не суперечить поняттю середньої величини. Фактично ж, якщо функція f не є надто «екзотичною», має місце нерівність min(x1,x2) ≤ c ≤ max(x1,x2), тобто с є середньою для чисел х1, х2.
Покажемо, яким чином за допомогою числової відповідності можна побудувати вже відомі нам середні величини.
1. Нехай f(x1,x2) = x1+x2. Знайдемо числову відповідність для даної функції. Для цього достатньо розв’язати рівняння, що випливає з визначення числової відповідності: f(c,c) = c+c = x1+x2. Розв’язавши це рівняння, отримуємо 
. Таким чином, середнє арифметичне є числовою відповідністю суми двох чисел.
2. Нехай f(x1,x2) = x1·x2. Для числової відповідності записуємо рівняння: f(c,c) = c·c = x1·x2, звідки 
. Таким чином, середнє геометричне є числовою відповідністю добутку двох чисел.
3. Так само встановлюється, що середня гармонічна є числовою відповідністю функції 
, а середня квадратична – числовою відповідністю функції f(x1,x2) = x12+x22.
Якщо вже ми так розрекламували можливість генерування середніх величин з використанням принципу числової відповідності, то чому б нам, діючи за аналогією, не спробувати створити щось новеньке у цьому жанрі? Розглянемо, наприклад, функцію 
. Для числової відповідності отримуємо рівняння: 
, звідки 
. Ось вам і нова середня – залишилось лише придумати для неї назву!
Висновки
В складнім житті бувають миті,
Коли накотить благодать,
І тут до рук найкраще – книги,
Журнали можна почитати.
Дивись Мелітона, тримайсь тону.
Візьмеш високо, буде морока,
Візьмеш низько, буде слизько,
Тож, тримайсь Мелітона, середнього тону.
Підіб’ємо деякі підсумки.
Ми тепер знаємо, що середня величина двох чисел – це щось «проміжне» між цими числами, й зовсім не обов’язково, щоб це було середнє арифметичне. В процесі побудови середніх величин можна користуватись як формальними, так і змістовними міркуваннями, такими як:
- «балансування», коли середнє має «збалансовано» відрізнятися від чисел, що осереднюються,
- «числова відповідність», коли підстановка середньої в певну формулу в якості значень кожної змінної призводить до того ж значення, що й підстановка величин, що осереднюються, тобто f(c,c) = f(a,b).
Відмінності у розумінні того, що таке «збалансованість», а також можливість варіювання функції f, є тими стежками, рухаючись якими можливо будувати різні формули для отримання середніх величин.
Література
1. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967, с.502.
2. Слонимскии И.С.. Элементарная алгебра. Доп. курс. М.: Наука. 1964, с.133-136.
3. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970, с. 448.
4. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987, с.54-57.
5. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985, с.250-251.
Б.Г. Тучинський, середній математик, до речі доктор філософії (PhD) за спеціальністю «прикладна математика для економіки»
Засновник та видавець