Поки що розуміємо цей термін у загальноприйнятому сенсі, як відношення довжини пройденого шляху до необхідного для цього часу. Якщо машина їде по вибоїстій дорозі, то будь-якої миті її швидкість змінюється, як за величиною, так і за напрямом (тут проявляються властивості такого математичного поняття, як вектор). При попаданні в яму швидкість спрямована вниз і зростає, при в'їзді на горбок - вгору, рух сповільнюється.
На гладкій дорозі швидкість може бути великою і незмінною – рівномірний рух. У пустелі при пересуванні піском швидкість знижується до швидкості пішохода. Коли такі подробиці про переміщення тіла несуттєві, вказане відношення називають середньою (за шляхом чи шляховою) швидкістю.
Однак трапляються випадки, коли важливо знати, якою була швидкість на тій чи іншій невеликій ділянці шляху, протягом деякого, малого проміжку часу. При цьому потрібно більш точне знання про значення швидкості. Тоді знаходять ту саму середню швидкість, але вже на ділянці шляху чи за проміжок часу, який може бути і дуже малим.
В ідеалі, якщо довжину пройденого шляху зменшувати до нуля (зрозуміло, що при цьому і проміжок часу буде наближатись до нуля), то в результаті отримаємо значення цієї швидкості майже в точці. Таке значення і називають миттєвою швидкістю (математики вигадали для цього терміна назву: похідна від шляху за часом).
Зрозуміло, що чіткої межі між середньою та миттєвою швидкістю немає. Можна сміливо сказати, що середню швидкість можна уявити собі, як суму миттєвих швидкостей помножену на відношення дуже малого проміжку часу, у якому визначають кожне значення миттєвої швидкості, до всього часу руху по цьому шляху (по вченому, середня швидкість - це среднеінтегральне від миттєвих швидкостей).
Тут відразу зазначимо, що поняття на шталт "великий шлях" або "малий проміжок часу" досить відносні. Питання: з чим порівнювати, нижче саме про це піде розмова.
Математики, прагнучи до «точних» визначень, кажуть: межа відношення Δx/Δt при Δt, що наближається до нуля, де Δx = хк - хп, Δt = tк - tн, де хк, хн, tк, tн - кінцева і початкова координати і відповідні до них моменти часу.
Більш точно записують
vмитт = lim Δx/Δt при Δt → 0.
Стисло цю межу позначають dx(t)/dt, де dx і dt - називають диференціалами шляху та часу і припускають, що вони можуть бути як завгодно малими.
Тут можна було б закінчити нашу розповідь про два різні визначення швидкості, але є одна важлива деталь, яку ми вище відзначили у вигляді питання — з чим порівнювати?
Справа в тому, що фізика та її розділ механіки, тим і відрізняються від математики, що для необмеженого зменшення ділянок шляху та часу потрібно обґрунтування у вигляді приладів для вимірювання цих самих ділянок та відповідних інтервалів часу.
А ці прилади мають свою (і зовсім не як завгодно високу), точність (похибку) виміру. І довільно робити різні дії з числами у тому числі спрямовувати до нуля величини, з якими насправді має справу фізика, просто так не можна.
Деякі самовпевнені фізики, особливо теоретики, кажуть, що дуже зручно користуватися математичними межами, а наближене значення тієї чи іншої фізичної величини можна отримати округленням точного.
Але тут, використовуючи улюблену приказку Макса Борна, який у свій час пояснив сенс хвильової функції в квантовій механіці, «жаба стрибає у воду!». Зазначені вчені на хвилину забувають, що точні значення у фізичному експерименті в принципі недоступні. Ніяких точних значень просто не існує. Точність будь-якого прямого виміру завжди кінцева.
Наведемо конкретний приклад відмінності виміряного значення від «точного». Нехай середній пройдений шлях, як функція часу, має вигляд: х(t) = аt3, знайдемо миттєву швидкість, середня швидкість є: v = Δx/Δt. Тоді
Δx(t) = x(t + Δt) - x(t) = а(t + Δt)3 - аt3 =
= а[t3 + 3t2Δt + 3t(Δt)2 + (Δt)3 - t3] = а[3t2Δt + 3t(Δt)2 + (Δt)3]
далі відношення
Δx/Δt = а[3t2 + 3t(Δt) + (Δt)2],
а миттєва швидкість
lim Δx/Δt = 3аt2 при Δt → 0.
Бачимо, що другий вираз, отриманий як межа, вже не можна вважати точним. Вирази суттєво відрізняються, особливо у меж точності вимірювання, коли значення часу Δt близькі за величиною до помилки вимірювання значень часу.
Якщо Δt співпаде з похибкою вимірювань часу і весь вираз для х(t) розділити на (Δt)2, тобто по-науковому: нормувати нашу функцію на абсолютну похибку виміру незалежної змінної t, то отримаємо для відношення
[1/(Δt)2] Δx/Δt = а [3t2 + 3t + 1], а для похідної х΄(t) = 3аt2.
Як видно, вирази не ідентичні, особливо при значеннях t близьких до Δt. Наведемо ще один аргумент, що підтверджує необґрунтованість використання значень фізичної величини з як завгодно великою точністю.
Для цього пригадаємо, що значень фізичної величини, що реально вимірюються, завжди кінцеве число. Справді, нехай ми вимірюємо довжину зошита 20-сантиметровою лінійкою, з поділками, нанесеними через 1 см.
У цьому випадку абсолютна похибка вимірювань 0,5 см. І число значень, які можна виміряти такою лінійкою не більше 20.
Але чому значень, що можна розрізнити саме 20? А тому, що, наприклад, значення 13,2 та 13,8 см такою лінійкою розрізнити вже не можна. Достовірно за такої точності можна розрізнити лише 20 значень.
Відповідно, наприклад, при значенні вимірюваної величини 16 см кількість вимірюваних значень, які можна в досліді розрізнити з такою самою лінійкою, буде саме 16.
Коли ми ділимо значення якоїсь фізичної величини на абсолютну похибку її виміру, ми отримуємо її значення з точністю до одиниці. Абсолютна похибка в одиницю, якраз і виражає в цілих числах точність таких вимірів, яких можна виконати лише 16.
За визначенням, роздільна здатність – це величина зворотна відносній похибці, в нашому випадку 16см/1см = 16 (безрозмірна величина). При вказаному нормуванні наша фізична величина набуватиме лише цілочисельних значень.
Коли у формулу непрямого виміру входить кілька різних фізичних величин, і всі вони нормовані таким самим чином, тобто приймають цілі значення, як у разі швидкості, то може виявитися, що не кожному значенню чисельника (а це довжина шляху, що виражається цілим числом) відповідає якесь значення знаменника (цей час, теж деяке ціле число).
Якщо позначити похибку вимірювання шляху через κ, а часу через τ, то подібна ситуація виникає за умови
Δx/κ << Δt/τ.
Такі обставини виникають, коли кількість значень зміни шляху (множина значень зміни шляху), менша від множини значень часу.
При цьому двом сусіднім, ще помітним значенням (що спостерігаються) моменту часу не відповідає ніякого шляху. Іншими словами, при такому інтервалі часу два найближчі значення координати вже не відрізняються. Тіло, що рухається, для спостерігача начебто застигає нерухомо, на шталт до стріли, в апорії Зенона «Стріла». При цьому відношення
Δx/Δt = (х2 - x1) (= 0)/Δt (≠ 0) = 0.
Таким чином, непрямий вимір швидкості (розрахунок) виявляється неможливим за допомогою приладів, що використовують у прямих вимірах, для вимірювання довжини шляху і інтервалу часу, саме з такою точністю.
Ми встановили, що з поняттям миттєвої швидкості все не так просто, як мало здатися на перший погляд. Звичайно, виміряти миттєву швидкість у подібних випадках все ж таки можна, зрівнявши множин вимірюваних значень шляху та часу. Але в такому випадку точність непрямого виміру суттєво зменшується.
та Едвард Вільямс Морлі (1838–1923)
Як цікавий приклад, можна навести непрямий вимір швидкості світла у знаменитому досліді Майкельсона-Морлі. При цьому твердження про сталість швидкості світла стає вже не такою переконливою.
На завершення зауважимо, що в реальних дослідах, ситуація, коли множина значень шляху, що спостерігають менша за відповідну множину значень часу, зустрічається набагато частіше, ніж єдиний (рідкісний) випадок, коли множини значень шляху і часу однакові, тобто коли між цими множинами можна встановити взаємно-однозначну відповідність.
Вище ми розкритикували існуючий метод оцінки точності непрямого виміру та не запропонували альтернативного. Ця обставина вказує на цікаву проблему, яка потребує свого розв’язку. Далі постає питання достовірності теоретичних моделей, які призводять до формул і алгоритмів непрямих вимірів, тобто по суті чистих розрахунків. Втім – це вже тема, яка вимагає окремої розмови.
О. Пальті, старший науковий співробітник з фізики ВТНП
Засновник та видавець