Премію заснувала Норвегія у 2002 році на честь видатного норвезького математика Нільса Генріка Абеля. Її присуджує Норвезька академія наук і літератури за видатні досягнення в математиці.
Німецький математик Герд Фалтінгс народився 28 липня 1954 року в Гельзенкірхені. Більшу частину своєї наукової кар’єри він присвятив алгебраїчній та арифметичній геометрії, а також теорії чисел.
Він навчався в Мюнстерському університеті, працював у Вуппертальському університеті та Принстонському університеті, а згодом став директором Інституту математики Макса Планка в Бонні. З 2023 року він є його почесним директором і продовжує займатися науковими дослідженнями.
До речі, Фалтінгс уже давно належить до еліти світової математики: ще у 1986 році, у віці 32 років, він отримав Філдсівську медаль.
Абелівську премію він отримав «За створення потужних інструментів в арифметичній геометрії та розв’язання давніх діофантових гіпотез Морделла і Ленга».
Гіпотеза британського математика Луїса Морделла (1888–1972) стверджувала, що для певного великого класу алгебраїчних кривих кількість раціональних розв’язків повинна бути скінченною. У 1983 році Фалтінгс довів цю гіпотезу. Відтоді вона стала відомою як теорема Фалтінгса.
Теорема стверджує, що для алгебраїчної кривої роду більше ніж 1 існує лише скінченна кількість раціональних точок. Це був справжній прорив. Математики десятиліттями намагалися довести гіпотезу Морделла, і її розв’язання одразу зробило молодого професора всесвітньо відомим.
А що ж таке арифметична геометрія? Це, мабуть, найцікавіша частина історії. Арифметична геометрія поєднує дві великі області математики:
- теорію чисел, яка вивчає властивості чисел;
- геометрію, яка досліджує форми, простори та їхні властивості.
На перший погляд це зовсім різні речі. Але в сучасній математиці рівняння можна розглядати як геометричні об’єкти.
Наприклад, рівняння x² + y² = 1 описує коло. Якщо ж поставити запитання: які точки цього кола мають раціональні координати? – то геометрична задача перетворюється на задачу з теорії чисел. Саме такі глибокі зв’язки між числами та геометрією стали однією з головних сфер досліджень Фалтінгса.
Головне досягнення Фалтінгса полягає в тому, що він змінив самі методи роботи в арифметичній геометрії.
Його результати:
- завершили розв’язання проблем, над якими математики працювали десятиліттями;
- створили нові інструменти для досліджень;
- вплинули на розвиток теорії чисел та алгебраїчної геометрії;
- стали основою для великої кількості подальших робіт інших математиків.
Недарма Абелівський комітет підкреслив, що ідеї Фалтінгса не лише розв’язали окремі знамениті проблеми, а й створили нові підходи, які визначали розвиток цілої галузі протягом наступних десятиліть.
До речі, наступного дня після церемонії, 27 травня, Фалтінгс прочитав у Осло лекцію «From Abel to Mordell» — «Від Абеля до Морделла», що дуже символічно поєднало ім’я засновника сучасної теорії рівнянь із проблемою, яка принесла самому Фалтінгсу світову славу.
Що говорить теорема Фалтінгса?
У спрощеному вигляді: Якщо алгебраїчна крива є достатньо складною — точніше, має рід (g>1), — то на ній існує лише скінченна кількість точок із раціональними координатами.
Слово «скінченна» тут дуже важливе. Це означає, що таких точок може бути: 0, 1, 10, 1000, але їх не може бути нескінченно багато.
А що таке «рід» кривої? Тут можна використати дуже наочну аналогію. У топології поверхні умовно класифікують за кількістю «отворів»: сфера — 0 отворів, бублик — 1 отвір, поверхня з двома «дірками» — 2 отвори і так далі.
Для алгебраїчних кривих існує схоже поняття — рід (genus). Дуже грубо можна уявити це так:
| Рід кривої | Умовна аналогія |
|---|---|
| (g=0) | сфера |
| (g=1) | бублик |
|
(g=2) і більше |
поверхня з кількома отворами |
І ось тут відбувається найцікавіше.
Три різні світи
1. Рід 0: раціональних точок може бути нескінченно багато
Наприклад:
x2+y2=1.
Це «простий» випадок. Якщо ми знаємо хоча б одну раціональну точку, то часто можемо побудувати нескінченну кількість інших.
Уявімо, що ми проводимо через одну відому точку кола прямі з різним нахилом. Якщо нахил прямої — раціональне число, то друга точка перетину також матиме раціональні координати.
Отже:
рід 0 ⇒ можливо нескінченно багато раціональних точок.
2. Рід 1: ситуація ще цікавіша
Криві роду 1 називають еліптичними кривими.
Наприклад:
y2=x3–x.
Тут раціональні точки мають особливу структуру. Їх можна «додавати» одна до одної за певними геометричними правилами. Іноді з кількох точок можна породити нескінченно багато нових. Тобто й тут цілком можлива нескінченна кількість раціональних розв’язків.
3. Рід 2 і більше: теорема Фалтінгса
А ось тут починається справжня несподіванка. Якщо складність кривої перевищує певну межу:
g>1,
то Фалтінгс довів: кількість раціональних точок завжди скінченна незалежно від того, наскільки складним є рівняння.
Саме це раніше називалося гіпотезою Морделла.
Чому це було таким великим відкриттям? Тому що до Фалтінгса математики припускали, що це твердження правильне, але не могли його довести. У 1922 році англійський математик Луї Морделл висловив гіпотезу, що на будь-якій алгебраїчній кривій роду більше ніж 1 кількість раціональних точок має бути скінченною. Понад 60 років ніхто не міг повністю розв’язати цю проблему. У 1983 році молодий Герд Фалтінгс знайшов доказ. Це було настільки важливе досягнення, що за кілька років, у 1986 році, він отримав Філдсівську медаль.
Що цікаво, теорема говорить не про конкретне рівняння, а про глибокий зв’язок між геометричною складністю фігури та арифметикою чисел. Чим складнішою стає геометрія кривої, тим сильніше обмежується світ можливих раціональних розв’язків.
Теорема Фалтінгса здійснила фундаментальний вплив на криптографію, хоча не стала безпосередньою основою якогось конкретного алгоритму шифрування.
Сучасна криптографія широко використовує еліптичні криві. Саме на них працюють такі системи, як ECC — криптографія на еліптичних кривих, ECDSA — алгоритм цифрового підпису, ECDH — протокол обміну криптографічними ключами. Саме еліптичні криві виявилися особливо цікавими для криптографії: їхні точки можна наділити операцією, схожою на додавання.
Уявімо, що є точка (P) на еліптичній кривій. Ми можемо багато разів «додавати» її до самої себе:
P, 2P, 3P, 4P, …
Обчислити Q=nP відносно легко. Але якщо відомі тільки (P) і (Q), знайти число (n) може бути надзвичайно складно. Це називається задачею дискретного логарифмування на еліптичній кривій. Саме ця математична складність і використовується для захисту (банківські операції, цифрові підписи, криптовалюта, захищений обмін ключами, захищені інтернет-з’єднання – HTTPS/TLS). Отже, тут працює загальний принцип: Виконати математичну операцію легко, а повернути її назад — практично неможливо.
Фалтінгс працював значно ширше, ніж просто з еліптичними кривими. Його дослідження допомогли розвинути арифметичну геометрію — галузь, яка вивчає зв’язок між числами та геометричними об’єктами. А саме ця галузь стала важливим математичним фундаментом для розвитку криптографії на кривих.
Можна сказати так: Фалтінгс не створив замок для наших даних, але допоміг краще зрозуміти математичний світ, у якому такі замки будуються. Його теорема показала, що геометрична складність кривої дуже сильно впливає на арифметичні властивості її точок.
А що буде, якщо використовувати криві роду 2 або 3? Тут зв’язок із криптографією стає ще цікавішим. Математики намагалися створювати криптографічні системи не лише на еліптичних кривих, а й на складніших об’єктах — наприклад, гіпереліптичних кривих.
У таких системах використовуються вже не просто окремі точки кривої, а складніші алгебраїчні конструкції, пов’язані з ними. Ідея приваблива: складніша математика, потенційно менші ключі, нові криптографічні структури. Але складність має і зворотний бік: деякі такі системи виявилися вразливими до спеціальних математичних атак або менш зручними для практичного використання.
Теорема Фалтінгса важлива тут як частина фундаментального розуміння того, наскільки обмеженим стає світ раціональних точок на кривих високого роду.
Є ще один важливий момент. Криптографія постійно шукає математичні задачі, які мають дві властивості:
легко виконати певне обчислення,
дуже важко відновити початкові дані.
Для пошуку таких задач математикам потрібно добре розуміти структуру чисел, рівнянь і геометричних об’єктів.
Роботи Фалтінгса дали потужні інструменти для дослідження саме таких структур.
Тому його внесок можна порівняти з розвитком фундаментальної фізики. Наприклад, фізик, який досліджує властивості напівпровідників, не обов’язково створює конкретний смартфон. Але без фундаментального розуміння фізики смартфонів узагалі могло б не бути.
Так само і тут:
фундаментальна математика → нові математичні методи → розвиток криптографії → захист інформації.
Таким чином, теорема Фалтінгса сама по собі не є криптографічним алгоритмом. Ви не знайдете «шифр Фалтінгса», яким безпосередньо захищають банківські дані. Але його роботи:
- поглибили розуміння арифметики алгебраїчних кривих;
- розширили інструментарій сучасної арифметичної геометрії;
- допомогли сформувати математичне середовище, з якого виросла криптографія на кривих;
- вплинули на дослідження складніших криптографічних систем, зокрема гіпереліптичних.
Схематично можна відобразити так:
Теорія чисел → Алгебраїчна геометрія → Еліптичні та інші криві → Складні математичні задачі → Криптографія → Захист даних
Тож зв’язок між премією Фалтінгса та сучасним захистом даних існує, але він не прямий, а фундаментальний. І саме такі, на перший погляд «абстрактні», математичні дослідження часто через десятиліття раптом стають основою цілком практичних технологій.
Підсумуємо. Герд Фалтінгс отримав Абелівську премію 2026 року за фундаментальні роботи на межі геометрії та теорії чисел. Його найвідоміше досягнення — доведення гіпотези Морделла, яка після цього стала теоремою Фалтінгса. А сама Абелівська премія є одним із найвищих світових визнань математичних заслуг.
За матеріалами офіційного сайту премії The Abel Prize.
Тамара БЄЛИХ
![Серед середніх [2]](https://www.krainaz.org/images/202602/average-value.jpg?width=850&height=587)
![Вони першими застосували атомну енергію [1]](/images/202607/atom.jpg#joomlaImage://local-images/202607/atom.jpg?width=850&height=587)
Засновник та видавець