Твердження, що математика у світі відіграє величезну роль, перетворилося на досить банальну істину. Загальновідомо, що багато галузей науки і техніки своїми успіхами значною мірою завдячують широкому використанню математичних методів. Насамперед, це стосується так званих точних наук – механіки твердого тіла, теоретичної фізики, квантової хімії.

Ми є свідками проникнення математики і в такі розділи науки, де донедавна панували, переважно, якісні методи дослідження. На наших очах виникли і бурхливо розвиваються математична економіка, математична біологія, математична лінгвістика та багато інших математизованих та тих, що математизуються,  галузей знання.

 Що робить математику настільки універсальним і потужним інструментом дослідження? Одне з найглибших і найточніших висловлювань, що визначають її місце у системі наук, належить знаменитому фізику Нільсу Бору: математика – це більше, ніж наука, це – мова.

На перший погляд може здатися, що в цьому визначенні немає нічого особливого. Зрештою, кожна наука створює свою власну мову у вигляді спеціальної термінології, скорочених символічних позначень тощо.

Достатньо послатися на специфічне термінологічне багатство мов сучасної медицини, геології, біологічної систематики, згадати про символіку хімічних формул, мову креслень та схем.

Однак мова математики має одну відмітну, що ставить її в особливе становище, рису: над нею зусиллями багатьох поколінь математиків споруджено величезну струнку будівлю дедуктивних побудов. Тому кожного разу, коли та чи інша задача в будь-якій галузі науки може бути сформульована цією мовою, до послуг дослідника виявляється і певна частина будівлі у вигляді відповідного математичного апарату.

Завдяки цьому, як правило, вдається заощадити масу абстрактної розумової роботи (дедуктивних побудов), що витрачається на отримання необхідних висновків. Наприклад, сформулювавши задачу  мовою диференціальних рівнянь, фахівець будь-якої галузі знання отримує до рук готовий апарат чисельного розв'язання задачі, вивчення якісних особливостей цього розв'язання тощо.

Таким чином, висловлювання Бора можна доповнити: «Математика – це більше, ніж мова, це мова із спорудженою над нею будівлею дедуктивних побудов».

Можливості та перспективи застосування математики в інших науках виявляються тим самим тісно пов'язаними з двома внутрішньоматематичними проблемами – подальшим розвитком її мови і безперервним нарощуванням і вдосконаленням будівлі, що височить над нею. Робота в обох напрямках стимулюється як задачами, що виникають у рамках самої математики, так і прикладними, що постачаються іншими науками.

У різні періоди розвитку математики відносне значення цих двох груп стимулів (внутрішнього та зовнішнього) змінювалося, однак у всі часи існувала їхня органічна єдність, що забезпечує єдність чистої та прикладної математики.

Успіхи чистої математики, розширюючи та зміцнюючи будівлю дедуктивних побудов, сприяють зрештою зміцненню потужності математики як апарату прикладних досліджень. У свою чергу, успіхи прикладної математики, розширюючи мову математики та коло вирішуваних нею задач, визначають створення нових галузей математичних досліджень та досягнення чистої математики.

Сьогодні часто неможливо визначити, де закінчується прикладна математика і починається чиста, і навпаки.

Одним із важливих внутрішніх стимулів, що зумовлюють розвиток математики в наші дні, продовжує залишатися ряд важких проблем, що дістався нам від попередніх поколінь учених. Рішення багатьох із них було знайдено останніми роками, але водночас виникли і виникають нові. Рішення кожної важкої математичної проблеми представляє інтерес і само по собі, але значення такої події багаторазово зростає, якщо при цьому (як найчастіше і буває) створюється новий математичний апарат, який має широку область застосувань.

Історія розвитку математики в Академії наук СРСР може дати чимало прикладів. Досить зазначити метод тригонометричних сум, запропонований академіком І.М. Виноградовим для вирішення відомих проблем Варінга та Гольдбаха в адитивній теорії чисел. Або на створений академіком Л.С. Понтрягіним новий потужний апарат (теорія характерів з принципом двоїстості) для вивчення комутативних локально компактних груп (стимулом до створення цього апарату послужили дослідження з так званої п'ятої проблеми Гільберта).

 Є також багато прикладів, коли узагальнюючі результати та нові постановки задач у межах старих розділів математики призводили до виникнення у ній нових розділів. Так, локальна теорема академіка А.І. Мальцева призвела до загальної теорії моделей (А. І. Мальцев, А. Тарський та інші).

 Робота академіка С.Л. Соболєва, в якій при вирішенні задачі Коші для лінійних диференційних рівнянь гіперболічного типу були вперше введені узагальнені функції, послужила відправною точкою для розвитку сучасної теорії узагальнених функцій – потужного апарату досліджень, як у чистій, так і в прикладній математиці ( Л. Шварц та інші).

Нові теорії, що випливають із внутрішньоматематичних потреб, слугують, як ми вже говорили, перш за все, для зміцнення і розширення будівлі самої математики, але нерідкі випадки, коли математичний апарат, спочатку призначений для досить абстрактних, далеких від практики цілей, згодом набував важливого прикладного значення.

Так, теорія груп, створена в минулому столітті для вивчення питання про розв'язання алгебраїчних рівнянь у радикалах, у наші дні почала відігравати важливу роль у теоретичній фізиці і кристалографії. Математична логіка, що служила спочатку для підведення міцного фундаменту під математичні побудови та висновки, стала потужним практичним інструментом при проектуванні електронних обчислювальних машин та засобів дискретної автоматики.

Інше внутрішньоматематичне джерело вдосконалення будівлі математики – розвиток мови, якою формулюються математичні поняття та результати, що призводять до перебудови тих чи інших її розділів з позицій як великої спільності і строгості, так і ясності і простоти викладу. Протягом останнього століття будівля математики зазнавала серйозної перебудови щонайменше 3 рази.

Насамперед, це була перебудова математичного аналізу на теоретико-множинній основі. Потім основи математики було переглянуто з формально-аксіоматичних позицій (із залученням конструктивних методів). Третя перебудова, що завершується в наші дні, пов'язана із загальним процесом алгебраїзації математики та підведенням під багато її розділів єдиного алгебро-топологічного фундаменту (у результаті з'явилося багатотомне видання «Елементи математики», підготовлене колективом французьких математиків під псевдонімом Н. Бурбакі).

Будь-яка розумна перебудова та вдосконалення мови математики призводять до нового зростання її можливостей як інструменту дослідження. Підвищується ступінь обґрунтованості застосування цього інструменту, розширюються їх межі. З новою мовою приходить, як правило, і нова інтуїція, а також нове розуміння очевидності та цінності результатів. Про те, якою мірою створення нової мови збільшує прикладну міць математичного апарату, можна судити з тієї великої ролі, яку зіграла мова векторного і тензорного аналізу у становленні та розвитку теорії відносності та сучасної теорії гравітації.

Неабияке значення для розуміння проблем, що висуваються астрофізикою та космогонією, мають і матимуть сучасні алгебро-топологічні методи вивчення властивостей різноманіття загалом.

Як і раніше найважливішим стимулом розвитку математики залишаються прикладні задачі, що виникають у рамках інших наук. З часів Л. Ейлера вчені нашої Академії не тільки вирішували прикладні задачі, а й створювали на їхній основі нові розділи математики, відточували необхідний при цьому математичний апарат.

Імена академіків П.Л. Чебишева, О.М. Ляпунова, та інших сяють, як зірки першої величини, далеко за межами власне математики. Ця традиція збережена та помножена математиками Академії наук СРСР.

Так, вирішуючи задачі гідродинаміки, академік М.О. Лаврентьєв створив новий напрямок у теорії наближених конформних відображень на основі використання варіаційних методів. Роботи академіка М.В. Келдиша з гідродинаміки, аеродинаміки та автоматичного регулювання органічно пов'язані з отриманими ним фундаментальними математичними результатами в теорії функцій комплексної змінної, теорії наближення в комплексній області, теорії несамоспряжених операторів та ін.

За допомогою запропонованих Мстиславом Всеволодовичем Келдишем нових математичних методів М.О. Лаврентьєв досяг практично важливих результатів у галузі теорії хвиль і струменів, розробив гідродинамічну теорію кумуляції, знайшов несподівані можливості застосування теорії аналітичних функцій для вивчення явищ детонації та спрямованого вибуху. Ним та М.В. Келдишем побудовано теорію руху крила під поверхнею рідини. М.В. Келдиш створив теорію підйомної сили крила літака з урахуванням стисливості повітря, теорію флаттера крила та теорію автоколивань коліс літака.

Роботи академіка М.І. Мусхелішвілі щодо застосування теорії функцій комплексної змінної в теорії пружності природним чином перейшли в русло нового розділу математики – теорії сингулярних інтегральних рівнянь, в розробку якої ним внесено визначальний внесок.

Академік А.М. Колмогоров, відштовхуючись від практичних задач теорії дифузій, прийшов до загального поняття марківських процесів і створив аналітичний апарат для їх вивчення. Загальна теорія випадкових процесів, що виросла з цих робіт, стала потужним дослідницьким інструментом у сучасній теорії управління та зв'язку, в радіоелектроніці та інших галузях науки і техніки. Найважливіший внесок зроблено А.М. Колмогоровим у теорію турбулентності.

Дослідження академіка Л.В. Канторовича з оптимізації використання ресурсів у галузі економіки привели його до загальних постановок задач лінійного програмування. Теорія лінійного програмування, розвинена ним та Дж. ван Данцигом, знайшла застосування далеко за межами економічної науки. З практичних задач теорії управління народився принцип максимуму Л.С. Понтрягіна. Поруч із теорією динамічного програмування, запропонованої Р. Беллманом, результати Л.С. Понтрягіна є основою для вирішення численних задач у математичній економіці, теорії оптимальних процесів тощо.

Багато прикладів створення нових математичних методів і теорій для вирішення прикладних задач пов'язані з ім'ям академіка М.М. Боголюбова. Назвемо, зокрема, асимптотичні методи дослідження нелінійних диференціальних рівнянь, які знайшли важливі практичні застосування у різних галузях (наприклад, для розрахунку прискорювачів елементарних частинок). Його результати з аналітичних продовжень узагальнених функцій відіграли важливу роль у розвитку теорії сильних взаємодій квантової теорії поля. М.М. Боголюбову належить математичне осмислення техніки перенормування в квантовій електродинаміці. Ним побудована мікроскопічна теорія надплинності, створено новий метод вивчення явища надпровідності.

Чимало зроблено для розвитку математичних методів та їх застосування вченими, основні роботи яких належать до галузей науки, тісно пов'язаних з математикою (механіка, геофізика та інші.). Так, академіком А.О. Дородніциним запропонований метод інтегральних співвідношень, виконані роботи з наближених методів дослідження гіперзвукових течій. Цікаві результати отримано академіком М.М. Красовським з лінійних рівнянь із запізнілим аргументом, з теорії стійкості «загалом» тощо.

Поєднання глибоких теоретичних досліджень із важливими практичними додатками їх результатів притаманно діяльності більшості членів Відділення математики Академії наук СРСР. Крім названих нами імен, у цьому ряду можуть бути повним правом згадані академіки І.М. Векуа, В.С. Володимиров, Ю.В. Прохоров, А.М. Тихонов, члени-кореспонденти АН СРСР О.В. Біцадзе, І.М. Гельфанд, М.М. Лаврентьєв, А.А. Самарський, С.В. Яблонський та інші. При вирішенні прикладних задач останнім часом виник цілий ряд нових галузей математики: теорія масового обслуговування, теорія ігор, теорія автоматів, прикладна теорія алгоритмів та ін.

Принципово нова сторінка в історії математики та її додатків до інших наук відкрилася у зв'язку з винаходом ЕОМ. Тут людина вперше зустрілася з пристроями, потенційні можливості яких у галузі дедуктивних побудов значно перевершують її власні. Ця обставина матиме вирішальне значення для подальшого розвитку математики та комплексу дедуктивних наук взагалі, а не для одних лише «обчислювальних» їх розділів, як це зазвичай вважають.

Слід відразу обмовитися, що сьогодні подібна вузька думка певною мірою виправдана. Бо хоча сучасні ЕОМ можуть у принципі виконувати будь-які дедуктивні побудови, їхня нинішня архітектура і склад математичного забезпечення орієнтовані, переважно, на порівняно невеликий клас дедуктивних побудов типу звичайних процедур обчислювального характеру, хоч і загальніших, ніж звичайні обчислення. Щоб повніше охарактеризувати клас задач, які можна з успіхом вирішувати на наявних ЕОМ, наведемо приклад.

Припустимо, що нам потрібно вивчити поведінку системи з безліччю якісних параметрів, тобто параметрів, кожен з яких може приймати певне кінцеве число різних значень  – «добре», «задовільно», «погано»  або 1, 2, 3, 4 і т. д. До таких систем належать організм людини або тварини, людське суспільство. З метою визначеності вважатимемо, що маємо справу з людським організмом. Параметри, про які йде мова, стосуються стану різних органів, їх окремих частин, систем регулювання, індивідуальних властивостей характеру, а також різноманітних зовнішніх впливів (режим роботи та відпочинку, харчування, фізичні вправи, прийом ліків та лікувальних процедур тощо).

Далі припустимо, що вченими різних спеціальностей знайдено логіко-часові залежності між параметрами. Звичайна форма представлення таких залежностей – це сукупність тверджень типу: «Якщо в якийсь момент часу параметри х_i1, x_i2, ..., x _ik, y_j1, y_j2, ..., y_jk  мали значення a _i1, .... a_ih, b_j2, ..., b_je, то через проміжок часу t параметр х_i перейде з ймовірністю р у стан a_i». Маючи всі можливі залежності подібного роду для кожного з внутрішніх параметрів х₁, х₂ ..., х_п,    що характеризують систему, знаючи їх початкові значення, а також те, як змінюються в часі всі параметри у₁ у₂, …, у_т,  що характеризують зовнішні впливи на систему, у принципі виявляється можливим крок за кроком встановити закони розподілу ймовірностей значень всіх внутрішніх параметрів для моментів часу t, 2t, 3t і т.д.

Таким чином, у принципі вирішується задача прогнозу стану організму (з урахуванням індивідуальних властивостей людини) за різних варіантів зовнішніх впливів. Слід, однак, взяти до уваги одну важливу обставину. Справа в тому, що для скільки-небудь реальної постановки зазначена задача повинна мати багато тисяч параметрів і багато десятків (і навіть сотень) тисяч елементарних логіко-часових співвідношень. Тому людині, яка не користується нічим, крім арифмометра, олівця та паперу, може не вистачити всього її життя для прорахунку навіть одного варіанту такого прогнозу. Сучасні ЕОМ, прискорюючи процес обчислень (та інші операції, необхідні для рішення наведеної нами задачі) в десятки мільйонів разів, перетворюють роки на секунди (у році налічується трохи більше 30 млн. с). Таким чином, описана схема розв'язання задачі, абсолютно марна в домашинну епоху, при використанні ЕОМ стає дієвим засобом дедукції. Оскільки в зазначену схему вкладається велика кількість різних задач із сфери біологічних та соціальних наук, стає зрозумілим, чому застосування ЕОМ призводить до можливості математизації цих наук.

Мова класичної обчислювальної математики – це, перш за все, мова формул алгебри та аналізу, причому формул, досить простих для ручного рахунку. Мова сучасної обчислювальної математики – це мова алгоритмів і програм, що включає стару мову формул як окремий випадок. При цьому обмеження і складності, вже сьогодні набагато менші в порівнянні з класичною математикою, завдяки швидкому прогресу електронної обчислювальної техніки стають з кожним днем ​​все слабші і слабші.

Класична обчислювальна математика була орієнтована на вивчення відносно простих систем. Її мова орієнтувалася на опис безперервних параметрів та спеціальних залежностей, характерних, насамперед для механіки та фізики. Сучасна обчислювальна математика дає можливість ефективного вивчення складних (багатопараметричних) систем. Її мова універсальна у тому сенсі, що вона придатна для опису параметрів та залежностей будь-якого характеру. Тим самим створюється основа для дослідження дедуктивними методами об'єктів і явищ у науках, що не належать до точних.

Та й у самих точних науках багато задач вдавалося доводити до числа лише за такого огрублення їхніх умов, що рішення годилося хіба що для якісного орієнтування. Для більш точного рішення потрібно було вдаватися до дорогих експериментів на реальних об'єктах чи їх фізичних (натурних) моделях. Завдяки появі та розвитку ЕОМ коло задач, розв'язуваних розрахунковими способами і за допомогою математичного моделювання, безперервно розширюється, відвойовуючи у класичних експериментальних і спостережних методів нові й нові області.

Сам експеримент сьогодні також радикальним чином змінює своє обличчя. Складні експериментальні установки забезпечуються вбудованими в них ЕОМ, які автоматично зчитують і обробляють отримані дані, здійснюють управління експериментом. Простіші установки і прилади обслуговуються колективно однієї ЕОМ, загальної для цілої лабораторії або навіть групи лабораторій. Поступово пробиває собі дорогу думка, що якість експериментальної установки має оцінюватися не за фізичними параметрами, а за кількістю і якістю отриманої від неї інформації.

Розвиток ЕОМ призводить до того, що природознавці-теоретики починають переглядати свій традиційний девіз «світ влаштований просто», який послужив науці величезну службу в домашинну епоху. Адже по суті вони не мали на той час альтернативи, а випробуваний девіз націлював їхню увагу на ті області, де він справді виправдовувався. Зрозуміло, і зараз рано його здавати в архів. Однак у наш час його доцільно доповнити: «у деяких своїх частинах світ все ж таки влаштований складно». Адже лише під цим новим девізом можуть широко розвиватися дедуктивні методи дослідження складних біологічних та соціальних систем.

Та й сучасні технічні системи, що застосовуються в управлінні економікою, космічними польотами, складними технологічними процесами, навряд чи можна ефективно вивчати і проектувати під старим девізом. Створення таких систем та самих обчислювальних машин сьогодні можливе лише за умови автоматизації процесів проектування за допомогою ЕОМ у діалоговому (людина – машина) режимі. Розвиваються спеціальні машинні мови для моделювання на ЕОМ складних технічних систем (насамперед систем управління).

Успіхи обчислювальної математики безперечні. Однак все ще має місце суттєва різниця між аналітичним (формульним) та чисельним (у вигляді машинної програми) рішенням задачі. Окрім більшої стислості та наочності формульної мови порівняно з мовою довільних алгоритмів і програм, між ними є ще дві набагато суттєвіші відмінності. По-перше, коли рішення представлено у вигляді формули, можна дедуктивним шляхом виводити деякі загальні (наприклад, асимптотичні) властивості. По-друге, формули можна перетворювати з одного виду в інший залежно від вимог, що пред'являються до них.

Неважко зрозуміти, що зазначені переваги формульної мови викликані причинами суто історичного характеру і рано чи пізно зникнуть внаслідок розвитку теорії мов програмування. Насамперед, є можливість введення систем мікрооператорів та коротких позначень для них, які були б орієнтовані на певні класи застосувань (подібно до того, як формульні макрооператори sin x, _a∫^b f(х)dx та ін. орієнтовані на застосування у традиційних точних науках, наприклад у механіці та фізиці). У результаті частого вживання вони зробляться, зрештою, настільки ж звичними і наочними, як і класичні макрооператори алгебри та аналізу. Дослідження властивостей цих макрооператорів і правил їх композиції дозволить (як і у разі формул) вивчити по запису алгоритму загальні властивості рішень, які він представляє. Нарешті, вже сьогодні закладено основи алгебри алгоритмів і програм, за допомогою яких можна здійснювати їх формальні еквівалентні перетворення, подібно до того, як це робиться стосовно формул.

Іншими словами, над мовою алгоритмів та програм має бути зведена будівля дедуктивних побудов, аналогічна до того, яка була споруджена над звичайною формульною мовою працями багатьох поколінь математиків. Коли перший будинок наздожене у своєму зростанні другий і поглине його, принципова якісна різниця між аналітичними та чисельними рішеннями зникне.

 Що ж до кількісної відмінності, що визначається ступенем складності об'єктів, що вивчаються, і програм, що їх описують, то і тут намічається цілком природний вихід. Зрозуміло, далеко не одне й те саме визначити асимптотичну поведінку рішення, що представляється простою або складною формулою. Кількість необхідних дедуктивних побудов у другому випадку буде природно більшою.

Не слід забувати, однак, що ЕОМ – це потенційний дедуктор, набагато потужніший, ніж людський мозок. За умови автоматизації відповідних дедуктивних побудов якісне дослідження рішень, що представляють складні програми, може виявитися не більш важким завданням, ніж аналогічне завдання для простих формул сьогодні.

Взагалі, оскільки дедуктивні побудови над мовою математики майбутнього за потреби повинні бути набагато складнішими, успішний розвиток математики та її додатків в інших науках стане неможливим (або принаймні буде дуже утрудненим) без автоматизації цих побудов. Зараз є досить цікаві приклади подібної автоматизації, виконаної на базі універсальних доказових процедур у рамках звичайної математичної логіки.

На жаль, побудовані на цій основі програми мають один істотний недолік: добре служачи доказу теорем у самій математичній логіці, вони виявляються досить безпорадними за її межами. Причину такого явища зрозуміти неважко. Справа в тому, що математична логіка розвивалася досі як апарат для обґрунтування математики, а не як практичне знаряддя формалізації математичних міркувань. Будівельні блоки, що застосовуються в ній, дрібні, а їх асортимент занадто обмежений, щоб можна було за їх допомогою досить легко і просто описувати побудови, що застосовуються в змістовних розділах математики.

Для такого опису нині розроблено мову практичної математичної логіки. Формулювання визначень і теорем, як і докази, у цій мові досить близькі до тих, які використовують математики у своїх дослідженнях. Правила виведення у цій логіці поєднуються в алгоритм, так званий алгоритм очевидності, доказова сила якого приблизно відповідає рівню, який вкладається в поняття очевидності в математичних монографіях.

Подальший розвиток алгоритму очевидності та розробка спеціальної мови «підказок» призведуть до ефективної спільної роботи математика з ЕОМ при доказі нових теорем. У міру вдосконалення цієї системи вченим стануть доступними дедалі більш складні дедуктивні побудови. Тим самим будуть необмежено розширюватись можливості застосування математичних методів дослідження в інших науках.