За час навчання в школі учням доводиться розв’язувати багато різноманітних задач з математики. Часто зустрічаються такі ситуації, коли учень знає теоретичний матеріал (означення, теореми, правила), але не знає, як розв’язати ту чи іншу задачу. Таким учням можна дати кілька порад.
По-перше, треба налаштувати себе на те, що виконання будь-якої задачі вимагає часу.
По-друге, не можна вважати головним одержання правильної відповіді до задачі. Набагато важливішим є пошук шляху розв’язування задачі. А одержання правильної відповіді може (хоч і не завжди) свідчити, що був знайдений правильний шлях досягнення мети. Справжній учитель ніколи не поставить погану оцінку учню, який намагався знайти шлях розв’язування задачі, хоч цей пошук і закінчився невдало. Отже, шукайте, досліджуйте!
По-третє, умову задачі треба читати до того часу, коли можна буде уявити всі події, що відбуваються в задачі, як вони відбуваються, які величини приймають участь у цих подіях. На основі цієї уяви треба переформулювати умову задачі зрозуміло для себе, не змінюючи суті завдання.
Після цього можна розпочати пошук шляху розв’язування задачі. Цей процес можна побудувати у вигляді запитань та відповідей до них. Кожне запитання повинне відповідати двом вимогам:
а) воно повинно бути таким, щоб на нього можна було дати відповідь;
б) кожне запитання повинно наближати нас до мети.
Розглянемо деякі задачі.
Задача 1. Скільки води треба долити до 7,5 літрів 12%-го розчину кислоти, щоб одержати 10%-ий розчин?
Учень повинен чітко уявити та описати на основі уяви всі події, що відбуваються в задачі, виявити всі величини, які в умові задачі знаходяться в неявній формі, переформулювати умову задачі, не змінюючи її суть, і лише після цього сформулювати основне запитання задачі так, щоб можна було розпочати пошук шляху розв’язування задачі. Така робота буде свідчити про те, що учень правильно розуміє умову задачі.
Нову умову задачі розділимо на кілька частин. Перша частина може бути сформульована так: «Є розчин кислоти, об’єм якого 7,5 л. У цьому розчині є певний об’єм води і певний об’єм кислоти. Об’єм кислоти становить 12%, тобто частину від об’єму розчину».
У цій частині розповідається про те, що було до початку дій з розчином. При такому формулюванні уже в явній формі виступають такі «заховані» величини як об’єм води і об’єм кислоти.
Друга частина нової умови повинна описати ті зміни, які відбуваються з розчином і як саме вони проходять. Це може бути сформульовано так: «До даного розчину доливають певний об’єм води, не змінюючи об’єм кислоти. Об’єм розчину збільшився за рахунок долитої води. У результаті цього об’єм кислоти буде становити 10% від нового об’єму розчину».
Тоді нова вимога може бути такою: «На скільки літрів збільшився об’єм розчину?» Вона вже не така складна, як питання в початковій умові задачі, бо дає можливість розпочати пошук шляху розв’язування задачі.
При потребі учень може виконати відповідний малюнок. Малюнок може бути виконаний на основі уяви про події, які відбуваються в задачі.
Розпочнемо пошук шляху розв’язування задачі.
Питання. Як дізнатися, на скільки літрів збільшився об’єм розчину?
Це питання відповідає зазначеним вище вимогам, бо учень на основі наявних у нього знань може дати чітку відповідь на це питання. Крім цього, відповідь на це питання наближує учня до кінцевої мети. Ставити в цей момент інші питання буде невчасно. Наприклад, на питання: «Чи можемо ми дізнатися, на скільки збільшився об’єм розчину?» – відповіді на даний момент бути не може, бо ще не намічений шлях (спосіб), яким можна дізнатися, на скільки збільшився об’єм розчину. З цієї ж причини не можна дати відповідь, наприклад, на питання: «Що треба знати, щоб дізнатися, на скільки збільшився об’єм розчину?» Тому будемо давати відповідь на запитання: «Як дізнатися …?»
Відповідь. Потрібно від об’єму першого розчину відняти об’єм другого розчину.
Даючи таку відповідь, учень (що дуже важливо) зараз не повинен думати про те, чи можна реалізувати цю відповідь. Важливість такої відповіді в тому, що учень сміливо намічає план роботи. Думка ж в цей момент про реалізацію відповіді завадить і самій відповіді: відповіді просто не буде. Часте повторення такого викличе в учня боязнь намічати план, перспективу роботи.
Щоб перевірити, чи можна реалізувати дану відповідь саме зараз, учень повинен поставити таке питання.
Питання. Чи можна це зробити? (тобто, чи можна від об’єму першого розчину відняти об’єм другого розчину)
Відповідь. Не можна, бо невідомий об’єм другого розчину.
Наступне питання логічно буде таким.
Питання. Як знайти об’єм другого розчину?
Відповідь. Треба об’єм кислоти, що є у другому розчині, поділити на дріб, який відповідає цьому об’єму.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Не можна, бо невідомий об’єм кислоти у другому розчині.
Питання. Чому рівний об’єм кислоти другого розчину?
Відповідь. Об’єм кислоти другого розчину рівний об’єму кислоти першого розчину.
Питання. Як знайти об’єм кислоти першого розчину?
Відповідь. Треба весь об’єм першого розчину помножити на дріб, який відповідає об’єму кислоти в цьому розчині.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Можна, бо відомий весь об’єм першого розчину та дріб, який відповідає об’єму кислоти в цьому розчині.
Ми дійшли до такого моменту, коли дали позитивну відповідь на поставлене питання. На цьому закінчується пошук шляху розв’язування задачі. Зазначимо, що відповідь на перше питання може бути і іншою. Це викличе інші наступні питання та інші відповіді на них.
На основі складеної системи запитань та відповідей до них можна легко скласти і реалізувати план розв’язування задачі. Реалізація цього плану може бути оформлена або у вигляді запитань та відповідей до них, або у вигляді зв’язного пояснення. Якщо реалізація плану буде оформлятися у вигляді системи запитань, то треба мати на увазі, що два питання, які починаються словами «як знайти» та «чи можна» синтезуються в одне, яке може починатися словами «який», «скільки», «на скільки» і т.д. У даному випадку це може мати такий вигляд.
Який об’єм кислоти в першому розчині?
12% = 0,12
7,5 × 0,12 = 0,9 (л)
Дане питання уже стало потрібним у потрібний момент, бо вже вказаний спосіб одержання відповіді на нього. По суті, вже запис (7,5×0,12) л є відповіддю на це питання. А такий запис став можливий, коли була дана відповідь на перше питання пошуку шляху розв’язування задачі. Аналогічно будуть потрібними в потрібний момент і такі питання.
Який об’єм другого розчину?
10% = 0,1
0,9 : 0,1 = 9 (л)
На скільки літрів збільшився об’єм розчину?
9 – 7,5 = 1,5 (л)
Опустивши такі етапи розв’язування задачі, як перевірка та дослідження, можна записати відповідь до задачі. Тут треба мати на увазі, що відповідь треба давати на питання, яке є у вихідній умові задачі.
Відповідь: треба долити 1,5 л води.
Задача 2. Один млин може змолоти 19 ц пшениці за 3 год., другий – 32 ц за 5 год., третій – 10 ц за 2 год. Як розподілити 133 ц пшениці між цими млинами, щоб вони, одночасно розпочавши роботу, закінчили її теж одночасно?
Умова задачі досить важка, щоб розпочати пошук шляху розв’язування цієї задачі. Необхідно уявити всі події та процеси, описані в умові задачі, на основі уяви переформулювати умову задачі так, щоб виявити всі величини, які зараз знаходяться в неявній формі. Умову задачі розділимо на частини. Перша частина може бути такою:
«Перший млин за 1 год. може змолоти певну масу пшениці, а за три години він змолотить 19 ц пшениці. Другий млин за 1 год. теж може змолоти певну масу пшениці, а за 5 год. він змолотить 32 ц пшениці. Третій млин за 1 год. може змолоти певну масу пшениці, а за дві години він змолотить 10 ц пшениці. Свою роботу млини розпочали одночасно і закінчили одночасно, тобто час роботи кожного млина рівний часу їх спільної роботи. За час спільної роботи кожний млин змолотить певну масу пшениці і разом вони змолотять 133 ц пшениці».
У цій частині умови задачі уже в явній формі знаходяться такі величини, як маса пшениці, яку може змолоти кожний млин за 1 год., маса пшениці, яку змеле кожний млин за час спільної роботи. Виходячи з такого змісту першої частини задачі, основну вимогу задачі можна сформулювати так: «Яку масу пшениці змеле кожний млин за час їх спільної роботи?»
Для того, щоб це питання відповідало вищезазначеним вимогам, його потрібно розділити на три частини:
а) яку масу пшениці змеле перший млин за час своєї роботи?
б) яку масу пшениці змеле другий млин за час своєї роботи?
в) яку масу пшениці змеле третій млин за час своєї роботи?
Ці три питання та нова умова першої частини задачі дають можливість розпочати пошук шляху розв’язування задачі.
Питання. Як дізнатися, яку масу пшениці змеле перший млин за час своєї роботи?
Відповідь. Треба ту масу пшениці, яку може змолоти перший млин за 1 год., помножити на час роботи цього млина.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Не можна, бо невідома маса пшениці, яку може змолоти перший млин за 1год. та час роботи першого млина.
Питання. Як знайти масу пшениці, що може змолоти перший млин за 1 год.?
Відповідь. Треба масу пшениці, що змелює перший млин за 3год., поділити на 3год.
Питання. Чому рівний час роботи першого млина?
Відповідь. Час роботи першого млина рівний часу спільної роботи трьох млинів.
Питання. Як знайти час спільної роботи трьох млинів?
Відповідь. Треба масу пшениці, яку змелють всі млини за час спільної роботи, поділити на масу пшениці, яку змелють три млини разом за 1 год.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Не можна, бо невідома маса пшениці, яку змелють три млини разом за 1 год.
Питання. Як знайти масу пшениці, яку змелють три млини разом за 1 год.?
Відповідь. Треба до маси пшениці, яку змеле перший млин за 1год. додати масу пшениці, яку змеле другий млин за 1год. і додати масу пшениці, яку змеле третій млин за 1 год.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Не можна, бо невідома маса пшениці, яку змеле другий млин за 1год. та третій млин за 1 год.
Питання. Як знайти масу пшениці, яку змеле другий млин за 1год.?
Відповідь. Треба масу пшениці, яку змелює другий млин за 5 год., поділити на 5 год.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Можна.
Питання. Як знайти масу пшениці, яку змеле третій млин за 1 год.?
Відповідь. Треба масу пшениці, яку змелює третій млин за 2 год., поділити на 2 год.
Питання. Чи можна це зробити?
Відповідь. Можна.
Ми одержали необхідні позитивні відповіді на поставлені питання. Тобто намітили шлях знаходження маси пшениці, яку може змолоти перший млин за час своєї роботи. Аналогічно можна намітити шлях, щоб знайти масу пшениці, яку може змолоти окремо другий та третій млини за час своєї роботи.
Таким чином знайдено шлях розв’язування задачі, який можна оформити у вигляді зв’язного пояснення.
«За умовою задачі перший млин може змолоти за 3 год. 19 ц пшениці, тоді за 1 год. він змеле 19:3 = 61/3 (ц) пшениці. Аналогічно дізнаємося, що другий млин за 1 год. змеле 62/5 ц пшениці, а третій млин за 1 год. змеле 5 ц пшениці. Тоді три млини разом за 1 год. змелють 61/3 + 62/5 + 5 = 1711/15 (ц) пшениці, а час одночасної роботи трьох млинів буде рівний 133:1711/15 = 71/2 (год.). Це означає, що кожний млин буде працювати год. Тоді перший млин за час своєї роботи змеле 61/3 × 71/2 = 471/2 (ц) пшениці. Аналогічно знаходимо, що другий млин за час своєї роботи змеле 62/5 × 71/2 = 48 (ц) пшениці, а третій млин за час своєї роботи змеле 5 × 71/2 = 371/2 (ц) пшениці. Тоді всі три млини разом за час спільної роботи змелють 471/2 + 48 + 371/2 = 133 (ц) пшениці, як і сказано в умові задачі».
У результаті проведеної роботи встановили, яку масу пшениці змеле кожний млин за час своєї роботи. Відповідь до задачі треба давати на те питання, яке є в даній умові задачі. Тому відповідь до задачі повинна бути такою:
Відповідь: 133 ц пшениці треба розподілити між млинами так: першому млину треба дати 47,5 ц пшениці, другому – 48 ц пшениці, третьому – 37,5 ц пшениці.
За допомогою системи запитань та відповідей до них можна розв’язувати не лише текстові задачі, але і багато інших задач. Часто буває, що вдало поставлене перше питання дає можливість швидко знайти шлях розв’язування задачі. Розглянемо деякі задачі.
Задача 3. При якому значенні рівняння 
має лише один корінь?
Розглядаючи умову задачі, бачимо, що за допомогою параметра k можна змінювати деякі коефіцієнти рівняння так, щоб воно мало один корінь (два однакові корені), два різні корені або ж не мало коренів. Так як в умові задачі є дія добування арифметичного квадратного кореня та дія ділення, то значення змінної x, з яких можна вибирати корені рівняння, будуть обмежені. Тому спочатку треба знайти ОДЗ рівняння. Виконавши нескладні дії, одержимо: x∈(-∞;0,5)∪(1;+∞).
Розпочнемо пошук шляху розв’язування задачі.
Питання. Коли зазначене в умові рівняння може мати лише один корінь (два однакові корені)?
Відповідь. Лише тоді, коли це рівняння має взагалі один корінь (два однакові корені) і цей корінь належить до ОДЗ рівняння або ж тоді, коли рівняння має два різні корені і лише один з них належить до ОДЗ рівняння.
Питання. Коли дане рівняння має один корінь?
Відповідь. Так як зазначене в умові рівняння на своїй ОДЗ рівносильне рівнянню x2+(1–2k)x+4k–6=0, то один корінь воно буде мати тоді, коли D=(1–2k)2–4(4k–6)
З цієї умови знаходимо k=2,5.
Питання. Чи можна вже стверджувати, що одержане значення параметра задовольняє зазначену в умові задачі вимогу?
Відповідь. Не можна, бо корінь вихідного рівняння, одержаний при знайденому значенні параметра може і не належати до ОДЗ цього рівняння.
Питання. Як встановити, чи належить корінь рівняння, одержаний при k=2,5, до ОДЗ цього рівняння?
Відповідь. Так як зазначене в умові рівняння на своїй ОДЗ рівносильне рівнянню x2+(1–2k)+4k–6=0, то достатньо розв’язати останнє рівняння при k=2,5. Тоді маємо рівняння x2–4x+4=0, корінь якого 2 належить до ОДЗ вихідного рівняння. Отже, при k=2,5 зазначене в умові рівняння має один корінь.
Питання. Чи закінчений пошук параметра k?
Відповідь. Не закінчений, бо не досліджена інша умова існування одного кореня.
Питання. Коли зазначене в умові рівняння має два корені?
Відповідь. Тоді, коли D=(1–2k)2–4(4k–6)>0. З цієї умови знаходимо k≠2,5.
Щоб знайти ці корені, розв’яжемо на ОДЗ рівняння x2+(1–2k)x+4k–6=0 при k≠2,5.
Тоді 
Так як корінь x=2 належить до ОДЗ вихідного рівняння, то наступне запитання повинно бути таким.
Питання. При яких значеннях параметра x корінь x=2k–3 не належить до ОДЗ вихідного рівняння?
Відповідь. Лише при тих значеннях параметра, коли 0,5≤ 2k–3 ≤1.
Розв’язавши цю нерівність, одержимо 1,75≤ k ≤2.
Отже, ми знайшли всі значення параметра k, при яких вихідне рівняння має лише один (два однакові) корені.
Відповідь: k ∈ {2,5;[1,75;2]}
Задача 4. При яких значеннях параметра a добуток коренів рівняння 
рівний 8.
Аналізуючи умову задачі, можна встановити, що дане логарифмічне рівняння одночасно є і квадратним рівнянням відносно змінної log2x. Наявність в умові параметра a дає можливість змінювати коефіцієнти рівняння, а змінюючи коефіцієнти, можна змінювати кількість і значення коренів цього рівняння. Тоді можна підібрати параметр так, щоб добуток коренів заданого рівняння був рівний числу 8. Вимагається знайти такий параметр a.
Після переформулювання умови можна розпочинати пошук шляху розв’язування цієї задачі. Тут важливо вдало сформулювати перше запитання. Звичайно, зміст першого запитання в значній мірі залежить від досвіду учня. Так як параметр зв’язаний з добутком коренів рівняння, то можливі такі варіанти питань:
а) як знайти корені даного в умові рівняння?
б)як знайти добуток коренів рівняння?
в)коли можна знайти добуток коренів рівняння? Та ін.
Так як вимоги про знаходження коренів рівняння немає, то пошук шляху розв’язування розпочнемо з останнього запитання.
Питання. Коли можна знайти добуток коренів заданого рівняння?
Відповідь. Цей добуток можна знайти, якщо знайдемо log2(x1x2), де x1, x2 - корені заданого в умові рівняння.
Питання. Чому рівний log2(x1x2)?
Відповідь. log2(x1x2)=log2x1+log2x2
Питання. Чому рівна сума цих логарифмів?
Відповідь. Так як задане в умові рівняння є квадратним по відношенню до log2x2, то log2x1+log2x2=2a2-a.
Тоді log2(x1x2)=2a2-a, тоді x1x2=22a2–a
За умовою задачі x1x2=8.
Тоді
Виконавши перевірку, знайдемо a=1,5.
Відповідь: a=1,5.
Якби пошук шляху розв’язування цієї задачі розпочинали із запитання а) або б), то шлях розв’язування був би набагато довший. Це говорить про виняткове значення першого запитання в процесі пошуку шляху розв’язування задач. Але важливим є не лише запитання, а і вдала відповідь на нього. Адже на перше запитання можна було б дати і іншу відповідь. Тоді і в цьому разі шлях розв’язування був би набагато складніший. Розглянемо ще одну задачу, де правильний напрямок пошуку був визначений першим запитанням та відповіддю до нього.
Задача 5. Знайти 
Звичайно, якщо учень пам’ятає формулу зв’язку arctgx і arccosx, то ця задача розв’язується дуже легко. Але ж пам’ятати всі формули просто неможливо. Ця задача була запропонована на ЗНО з математики і виявилася складною для багатьох учнів, які не пам’ятали на момент розв’язування формули зв’язку між arctgx і arccosx. Чи могли такі учні справитися з цим завданням? Звичайно, могли б, якби їм вдалося правильно сформулювати перше запитання та знайти влучну відповідь на нього. Тоді шлях розв’язування міг бути таким.
Питання. Що таке arctg(2/3)?
Відповідь. Це кут, який лежить в інтервалі (–π/2;π/2)і утворюється додатною частиною осі 0x і променем, який виходить з початку координат і проходить через точку (2/3;1) на лінії тангенсів. Зробимо відповідний малюнок.
Тепер на малюнку добре видно, що кут α - це arcctg2/3. Далі за допомогою відповідних запитань та відповідей до них можна дізнатися, що cosα легко знайти з подібності трикутників. Використавши відношення
знайдемо, що
Відповідь: 6.
З наведених прикладів видно, як важливо вміти влучно ставити запитання і вибирати ту відповідь, яка буде найбільш вдалою в даній ситуації. Щоб цього навчитися, треба не лише знати теоретичний матеріал із предмету, але і багато читати художньої та науково-популярної літератури. Велику допомогу в цьому можуть надати науково-популярні статті, які друкуються на сторінках журналу «Країна знань».
Література:
1. Д. Пойа. Как решать задачу. Журнал «Квантор», 1991
2. Э.В. Ильенков. Философия и культура. Москва, 1991
А.Є.Андрусь, учитель математики
Засновник та видавець