П’єр Ферма П’єр Ферма – один з найвидатніших любителів в історії науки, якого називали королем любителів математики. Математика була лише хобі французького юриста П’єра Ферма.  Його життя було тихим,  позбавленим гучних подій (34 роки було віддано державній службі), але він отримав від нього надзвичайно багато. Ця спокійна, урівноважена, чесна та акуратна людина прожила життя, яке є одним з найцікавіших в історії математики.

Блез Паскаль називав Ферма першим математиком свого часу. Він писав: «Я мушу визнати, що ваші відкриття переважають мої сили: я можу  лише  дивуватися ними».

Увесь свій вільний час Ферма присвячував математиці, займаючись дослідженнями в галузі теорії чисел, геометрії, теорії ймовірностей та ін. Крім цього, він писав вірші французькою, латинською, італійською та іспанською мовами. За життя майже не друкувався.

П’єр Ферма поряд з Декартом вважається засновником аналітичної геометрії (цей термін пізніше запропонував Ісаак Ньютон). Крім цього, він розділяє з Паскалем лаври творця теорії ймовірностей. Особливе місце в історії математичного аналізу займають його праці по відшуканню найбільших та найменших значень функцій. І зрештою, Ферма здійснив найвидатнішу справу, на якій ґрунтується його слава, – відродив теорію чисел і просунув її далеко вперед. Усі ці досягнення дозволили йому піднятися над його сучасниками – чистими математиками.

До математичних праць Ферма спонукала безкорислива любов до «цариці наук», і найкращі з його відкриттів настільки прості за своїм формулюванням, що будь-який школяр може зрозуміти їх зміст й оцінити їх красу. Світової слави набула «Велика теорема Ферма», про яку і розповідається в цій статті. До кінця ХХ ст. вона залишалась не доведеною, хоча нею займалися багато видатних учених. Було встановлено  навіть величезний грошовий приз, який повинен був вручатися тому, хто доведе цю теорему...

Праці П’єра Ферма надихали любителів математики всього світу  на протязі трьох століть. Теорія чисел, можливо, залишилась єдиною галуззю математики, в якій талановитий любитель-самоук до сьогоднішнього часу може сподіватися отримати  цікавий науковий результат.

«П’єр  Ферма – один з найгеніальніших дослідників у галузі теорії чисел на протязі всього культурного розвитку людства», –  стверджував видатний український математик минулого століття, учений світової слави, академік Михайло Пилипович  Кравчук.

Юрист закохався в математику

П’єр де Ферма народився 20 серпня 1601 року в місті Бомон-де-Ломань на південному заході Франції. Його батько, Домінік Ферма, був заможним торгівцем шкіряними виробами, тому П’єр мав щасливу можливість отримати престижну освіту у французькому монастирі Грансельва, а потім, протягом деякого часу навчатися в університеті Тулузи. Не збереглося жодних документів, які б свідчили про те, що юний Ферма виявив блискучі здібності до математики.

На початку своєї кар’єри Ферма зайнявся приватною адвокатурою. Хоча мав певні успіхи, але під тиском сім’ї вирішив перейти на державну службу. Актом від 14 травня 1631 року його призначають радником з прийому скарг касаційної палати парламенту Тулузи (в тодішній Франції це були окружні суди). Якщо місцеві жителі бажали подати петицію королю, то спочатку їм треба було переконати Ферма і його колег у важливості причини, яка спонукає до петиції. Радники здійснювали живий зв’язок між провінцією і Парижем. Окрім цього, вони були зобов’язані слідкувати за тим, щоб у провінціях виконувались королівські накази, які видавались у столиці. Ферма плідно працював на своєму посту і виконував свої обов’язки старанно, а до відвідувачів ставився доброзичливо.

До обов’язків Ферма також входив розгляд судових справ. Він обіймав досить високу посаду для того, щоб йому доручали вести найбільш серйозні справи. Одного разу Ферма виніс вирок, який зчинив багато галасу. Мова йшла про засудження до страти священика, який ганебно виконував свої обов’язки. Вирок було виконано – священика спалили на ешафоті.

Ферма швидко пересувався по щаблях службової драбини і увійшов до кола вельмож, про що свідчить частка «де», що з’явилась у його прізвищі: П’єр де Ферма. Успішна кар’єра була пов’язана не лише з честолюбними прагненнями, але й зі станом здоров’я. Річ у тім, що в той час в Європі лютувала чума, й ті, хто виживав, підіймались службовою драбиною і займали місця померлих. У 1652 р. настала черга й самого Ферма: він також захворів чумою і був у настільки тяжкому стані, що дехто вже почав поширювати чутки про його смерть. На щастя, організму вдалося побороти страшну хворобу.

Окрім ризику, якому у Франції XVII ст. зазнавало його здоров’я, Ферма було необхідно виживати ще й в умовах політичних загроз. Його призначення до парламенту Тулузи відбулося рівно через три роки після того, як кардинал Рішельє став прем’єр-міністром Франції. Це був час змов та інтриг, і кожний, хто був утягнутий до управління державою навіть на провінційному рівні, мав бути особливо обережним, щоб не попасти до хитросплетінь махінацій кардинала.

Ферма обрав стратегію неухильного виконання службових обов’язків, покладених на нього, й не дуже піклувався про себе. У нього не було особливих політичних амбіцій, і він прагнув триматися подалі від кипіння парламентських пристрастей. Усю енергію, яку йому вдавалося зберегти після виконання службових обов’язків, Ферма спрямував на математику. І коли не треба було розглядати скарги й виносити вироки, він з насолодою віддавався своєму чарівному захопленню математикою.

Математичний талант його був настільки великим, що Джуліан Кулідж у своїй книжці «Математика великих любителів» виключив Ферма з числа любителів-математиків на тій вагомій підставі, що той «був настільки видатним, що повинен вважатися професіоналом». Це й справді так – Ферма став одним з титанів математики Нового часу.

Народження Великої проблеми

Судові обов’язки Ферма поглинали значну частину його часу, і лише години  дозвілля залишались для занять математикою. Часу на друзів і приятелів Ферма не витрачав. Це пояснювалось тим, що у Франції XVII ст. не заохочувались дружні стосунки суддів з місцевими жителями.

Вважалось, що друзі й знайомі суддів самі можуть опинитися під судом, і тоді особисті зв’язки можуть завадити здійсненню правосуддя. Ізольований від вищого світу Тулузи, Ферма міг зосередитися на своєму улюбленому захопленні математикою.

Не збереглося жодних документальних свідоцтв того, що у Ферма був учитель математики, який би заохочував свого здібного учня. Наставником і вчителем Ферма стала знаменита «Арифметика» давньогрецького вченого Діофанта. В «Арифметиці» теорія чисел, як було прийнято в часи Діофанта, викладалась у вигляді низки задач та їх розв’язків. У дійсності Діофант розгорнув перед Ферма картину цілого тисячоліття, яка заслуговувала  глибокого осмислення творчого математика. В одній «Арифметиці» Ферма міг знайти все, що було відомо про числа завдяки працям послідовників Піфагора і Евкліда. На жаль, теорія чисел завмерла після варварського спалення античної  Александрії з її знаменитою бібліотекою, але Ферма виявив рішучість відродити вивчення цієї найбільш фундаментальної й найбільш чарівної з усіх математичних дисциплін.

Трактат Діофанта, який надихнув на власні наукові пошуки Ферма, був латинським перекладом «Арифметики». Його здійснив у 1621 р. літератор і любитель математики Клод-Гаспар Баше де Мезиріак, якого вважали найбільш освіченою людиною Франції того часу. Блискучий лінгвіст, поет і знавець класичних мов і літератури, Баше захоплювався математичними задачами-головоломками.

Хоча Мезиріак був у математиці лише дилетантом, він усвідомив величезну потребу в перекладі «Арифметики» Діофанта. На той час переважна більшість досягнень античних учених була повністю забута. Навіть у провідних європейських університетах математика викладалася на примітивному рівні. І лише з появою перекладів праць давньогрецьких мислителів вона почала швидко відроджуватися.

В «Арифметиці» зібрано сотні задач, і до кожної з них Діофант надав докладне розв’язання. Ферма не перейняв такий рівень доступності. Його зовсім не цікавило створення підручника для майбутніх поколінь. Він бажав лише одного – отримати задоволення від розв’язаної ним задачі.

 Ферма записував для себе лише найбільш необхідне і не піклувався про те, щоб викласти свої повні доведення. Іноді він хід своїх думок квапливо нотував на полях книжок, які були під рукою. Ці записи на полях стали для майбутніх поколінь неоціненним скарбом. Хоча й дещо уривчасті, вони є документальними свідоцтвами найбільш блискучих наукових результатів П’єра Ферма.

Особливо цікаві думки виникли у Ферма при читанні другої книги «Арифметики» Діофанта (весь трактат складався із тринадцяти книг, до нас дійшли лише шість із них). Там мова йшла про всім добре відому теорему Піфагора: x² + y² = z² і відповідні трійки цілих чисел, що їй задовольняють (так звані піфагорові трійки, наприклад, 3; 4; 5). Ферма вирішив замість рівняння Піфагора розглянути інші, більш високих степенів: x³ + y³ = z³ , x⁴ + y⁴ = z⁴ і т.д. І для кожного з цих рівнянь він не зміг знайти жодної трійки натуральних чисел, що їм задовольняє. Це й наштовхнуло його на думку, якій судилося стати головною інтригою в науці упродовж майже 350 років. 

На полях «Арифметики», поряд із задачею № 8, Ферма залишив таке зауваження: 

«Навпаки, неможливо розкласти куб на два куби, біквадрат на два біквадрати, взагалі ніякий степінь, більший від квадрата, на два степені з тим самим показником. Я відкрив цьому воістину чудесне доведення, але поля книжки для нього надто малі».

У цьому – весь Ферма! Саме це й найбільше розлючувало сучасних йому математиків. З його слів можна зробити висновок, що він вельми задоволений своїм «воістину чудесним» доведенням, але йому й в голову не приходить змусити себе записати докладне доведення і більше того – надрукувати його. Він так нікому і не розповів про своє доведення. Але попри таку характерну для Ферма комбінацію лінощів і скромності, Велика теорема Ферма, як її стали називати згодом, здобула нечувану славу в наступних століттях.

У сучасних позначеннях Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: «Рівняння  xⁿ + yⁿ = zⁿ не можна розв’язати в цілих (або раціональних) числах при умові, що натуральне n > 2 і xyz ¹ 0».

Велика проблема, нарешті, надрукована

 Своє знамените відкриття Ферма здійснив на самому початку своєї математичної кар’єри – біля 1637 року. Приблизно через тридцять років, виконуючи свої судові обов’язки в місті Кастре, Ферма тяжко захворів. 9 січня 1665 року він підписав свій останній вирок і через три дні помер.

Відкриттям Ферма, який знаходився в ізоляції від математичного світу, загрожувало повне забуття. На щастя, старший син Ферма, Клеман-Самюель, усвідомив усе значення улюбленого захоплення батька математикою. Він твердо вирішив, що відкриття батька не повинні бути втраченими для всього світу.

Усім, що ми знаємо про визначні відкриття Ферма в теорії чисел, ми зобов’язані його сину, і якби не Клеман-Самюель, загадка, відома під назвою Велика теорема Ферма, померла б разом зі своїм творцем.

П’ять років син збирав батьківські замітки і листи, вивчав його нерозбірливі записи на полях «Арифметики» Діофанта. Замітка на полях із формулюванням Великої теореми Ферма була лише однією з геніальних думок, залишених на полях цієї книги. Клеман-Самюель взяв на себе тяжку працю з опублікування всіх батьківських заміток у спеціальному виданні «Арифметики».

У 1670 р. він видав у Тулузі книжку під назвою «Діофантова Арифметика, що містить примітки П. де Ферма». До неї поряд з оригінальним текстом давньогрецькою мовою і латинським перекладом Баше увійшли 48 приміток, зроблених Ферма. Одна з приміток і стала відомою людству під назвою Великої теореми Ферма.

Коли «Примітки» Ферма стали відомі широкому загалу математиків, усі зрозуміли, що мають справу з генієм. На жаль, примітки або повністю були позбавлені пояснень, або містили лише невеличкі начерки доведень. Часто в цих уривках доведень було достатньо вишуканих логічних ходів. Це  переконувало математиків у тому, що Ферма міг справді мати повні доведення своїх теорем. Що ж стосувалось заповнення прогалин, то вони завжди залишались викликом, який треба було прийняти наступним поколінням.

За минулі століття одне за іншим були доведені всі твердження Ферма, які містились як примітки на полях «Арифметики» Діофанта. І лише Велика теорема Ферма завзято не піддавалася зусиллям математиків. Її навіть стали називати «останньою теоремою Ферма», оскільки вона залишалась останньою його приміткою, яку ще треба було довести.

Слава Великої теореми Ферма обумовлена виключно тим, що довести її неймовірно важко. Однак її формулювання зрозуміле кожному учневі. Ні у фізиці, ні в хімії, ні в біології немає жодної проблеми, яка б формулювалась так просто і в той же час так довго була б нерозв’язаною. Деякими вченими навіть висловлювалися припущення, що наша цивілізація підійде до свого кінця раніше, ніж комусь із роду людського поталанить її довести.

Доведення Великої теореми Ферма стало найбільш цінним призом у теорії чисел, і тому не дивно, що пошуки його привели до захоплюючих баталій в історії математики. У ці пошуки були втягнуті видатні вчені, а також численна армія аматорів з усіх куточків нашої планети. За доведення призначались величезні грошові премії, а також переможця очікувала світова слава. Через велику теорему Ферма сміливці билися на дуелі, а деякі навіть у розпачі від невдач з доведенням зводили рахунки з життям.

Статус Великої головоломки вийшов за межі лише світу математики. У 1958 р. Велика теорема Ферма проникла навіть у легенду про Фауста. У збірнику «Як мати справу з дияволом» була надрукована новела Артура Поджеса «Диявол і Саймон Флегг». У ній диявол звертається до професора математики Саймона Флегга з пропозицією задати йому, дияволу, яке-небудь запитання. Якщо дияволу вдасться знайти відповідь за двадцять чотири години, то він отримає у винагороду душу професора. У разі ж невдачі диявол зобов’язаний сплатити професору 100 000 доларів. Саймон вирішує задати дияволу таке питання: «Чи справедлива Велика теорема Ферма?»

Диявол зникає і носиться по Всесвіту, збираючи всі досягнення математики. Наступного дня він понуро повертається і визнає свою поразку: «Ви виграли, Саймоне, – сказав диявол, шанобливо зиркнувши на професора. – Навіть мені не під силу здолати всю математику, яка необхідна для розв’язання такої складної задачі за такий короткий час. Чим глибше я занурююсь у проблему, тим складнішою вона стає… Та що там казати! Знаєте, – зізнався диявол, – навіть найкращі математики на інших планетах, а вони, маю вам сказати, набагато випередили ваших, не змогли розв’язати її…»

Сто тисяч за Велику проблему

(Про це прочитаєте у наступному номері)

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук