Як побудувати графік функції? Колись у школі автор цих рядків розв’язував задачі побудови графіків найпростішим способом – «по точках», який зводився до наступного: обиралися точки (аргумент) – обчислювалися значення функції в цих точках – далі точки наносилися на график і з’єднувалися плавною лінією.

Проте дуже швидко виявилося, що такий спосіб придатний лише для побудови найпростіших графіків, у більшості ж випадків він просто не приводив до бажаної мети. В подальшому виявилося також, що побудова графіка функції – це зовсім не проста справа, це справжнє невелике наукове дослідження.

Однак для проведення такого «наукового дослідження» не потрібно жодних спеціальних знань! Достатньо бажання і знань, доступних будь-якому старшокласнику – це знання основних властивостей лише декількох (!) елементарних функцій плюс здоровий глузд!

Правда, залишається питання: а навіщо взагалі потрібно будувати графіки функцій? Але тут відповідь є однозначною: графіки потрібні!

Добре відомо, що функціональні залежності значно легше сприймаються в графічній формі: все ж таки в основному природою ми орієнтовані на зорове сприйняття.

Часто нам подобається виконувати обчислення за графіками: як ювелірові доводиться займатися пробірним аналізом і обчислювати, наприклад, довжину дроту, його діаметр і розмір ланок ланцюгів для виготовлення ланцюжків із заданими замовником параметрами – все це з достатньою для нас точністю дуже легко робити за заздалегідь побудованими графіками. Половина, якщо не більше, результатів аналізів в аналітичній хімії обчислюється за калібрувальними кривими, які теж є графіками функцій.

На погляд деяких учених головне призначення графіків полягає в їх значенні для евристичної діяльності – ілюстрації до викладу теорії і, насамперед, наведення прикладів і контрприкладів для доведення або спростування зв’язків між різними властивостями функцій.

Графіки надають викладанню статистичних даних істотно більшу наочність, ніж таблиці, виразність, полегшують їх сприйняття і аналіз. Ще в давнину китайці говорили, що одне зображення замінює тисячі слів. Графіки роблять статистичний матеріал більш зрозумілим, доступним і не фахівцям, привертають увагу широкої аудиторії до статистичних даних, популяризують статистику і статистичну інформацію.

Графічний метод аналізу виступає як логічне продовження табличного методу і служить цілям одержання узагальнюючих статистичних характеристик процесів, властивих масовим явищам.

Графіки допомагають подумки перейти від геометричних образів до явищ і процесів, зображених на графіку. Графічні зображення не тільки ілюстративні, вони носять і аналітичний характер. На даний час графіки широко застосовуються в обліковій та статистичній практиці підприємств та установ, у науково-дослідній роботі, у виробничо-господарській діяльності, в навчальному процесі, пропаганді та інших областях.

Нарешті, побудувати власноручно графік неординарної функції – це просто захоплююче завдання на дозвіллі!

Щоб допомогти навчитися будувати графіки будь-яких функцій спочатку нагадаємо ряд понять і визначень. Саме нагадаємо, оскільки тут не буде нічого нового – все, що подаватиметься нижче, відомо кожному старшокласнику і є в шкільних підручниках з математики. Тут просто наведемо необхідні відомості у вигляді певної збірки.

Якщо кожному значенню змінної х з певної множини дійсних чисел D відповідає єдине значення змінної у з множини дійсних чисел Е, то таку відповідність називають функцією.

При цьому х називають незалежною змінною або аргументом, у – залежною змінною або функцією, множину D – областю визначення даної функції, а множину Е – областю значень функції.

Задають функції найчастіше формулами, таблично або графічно. Якщо змінна у залежить від х, то записують y = f(x) (читають: «ігрек дорівнює еф від ікс»). Символом f(a) позначають значення функції y = f(x), коли x = a.

Графіком функції f(x) називають множину всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. Зображення графіку функції на координатній площині часто дає наочне уявлення про властивості та поведінку функції.

Найпростішим способом побудови графіку функції y = f(x) є спосіб побудови по точках – будується таблиця значень аргументу і відповідних їм значень функції:

Потім на координатній площині наносяться точки (x₁ , y₁ ), (x₂, y₂ ),... (x_n, y_n ), які з’єднуються плавною кривою. Ця крива з деяким наближенням зображує графік функції y = f(x). Проте, за таким способом можна побудувати тільки графіки найпростіших функцій.

Побудова ж більш складних графіків функцій є іноді зовсім нетривіальною процедурою, проведення якої, проте, значно полегшується, якщо активно використовувати:
1) знання основних властивостей функцій (область визначення, область значень, парність-непарність, періодичність, наявність асимптот, наявність екстремумів та ін.);
2) вміння будувати графіки елементарних (найпростіших) функцій;
3) знання правил перетворення графіків функцій.

Розглянемо основні найважливіші властивості функцій.

Функцію y = f(x) називають зростаючою на множині , якщо для будь-яких , таких, що x₁>x₂ виконується нерівність f(x₁)>f(x₂); якщо f(x₁)<f(x₂), то функцію називають спадною.

Зазначимо, що при дослідженні функцій задача пошуку проміжків зростання та спаду функції є однією з найбільш важливих і водночас складних задач.

Приклад 1. Функція y=xⁿ , , є зростаючою на всій числовій осі при непарних n. При парних n функція зростає на множині [0; +∞) і спадає на множині (–∞; 0].

Якщо у функції y= f(x) змінні х і у поміняти місцями, то отримаємо обернену функцію x=f(y) або y =f^-1(x) відносно прямої y = f(x). Це рівносильне зміні позначень координатних осей, з чого випливає, що графік оберненої функції y =f^-1(x) є симетричним до графіку y=f(x) відносно бісектриси першого та третього координатних кутів.

Однак слід зазначити, що навіть для однозначних прямих функцій обернені функції не завжди є однозначними.

Приклад 2. Для функції y=x² оберненою є функція x=y² або , тобто виявляється, що обернена не є функцією однозначною. Тому слід розглядати дві пари взаємно обернених функцій: 1) y=x², , 2) y=x², . Графік першої пари зображено на рис. 1.

Функцію y = f(x) називають парною, якщо для будь-якого х з її області визначення виконується рівність f(–x) = f (x). Функція y = f(x) непарна, якщо для будь-якого х з її області визначення f(–x) = –f (x).

Нагадаємо важливу властивість парних та непарних функцій: графік парної функції є симетричним відносно осі ординат, а графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Приклад 3. Функція y=x³ непарна, а функція y=x⁴ парна. Дійсно, область визначення кожної з них (вся числова вісь) симетрична відносно точки 0 і для будь-якого х виконуються рівності y=(–x)³=–x³ та y=(–x)⁴=x⁴. Графіки функцій зображені на рис. 2,3.

Якщо відстань від будь-якої точки кривої (функції y = f(x)) до деякої прямої при x→x₀ прямує до нуля, то таку криву називають асимптотою. Зазначимо, що точка може бути як кінечною, так і безкінечною. Якщо при x→∞ функція y = f(x) прямує до деякого постійного числа а, то пряма y = a є горизонтальною асимптотою.

Приклад 4. Розглянемо функцію . Вона парна і для неї пряма y = 1 є горизонтальною асимптотою, оскільки при x → ±∞ y → 1.

Якщо при x → b функція y = f(x) за модулем необмежено зростає, то пряма х = b є вертикальною асимптотою. Зауважимо, що прямування x → b може бути як з правого, так і з лівого боку. Залежно від цього поведінка функції може суттєво відрізнятися.

Приклад 5. Розглянемо функцію y=log₂(x–1). Якщо x →1 (з правого боку), то вираз x–1→ 0 залишається додатним. Отже, y=log₂(x–1)→–∞, і для нього пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. Якщо ж x →1 (з лівого боку), то вираз x–1→ 0 залишається від’ємним, але, як неважко впевнитись, тут вказана функція є невизначеною.

Для деяких функцій при x → ±∞ можуть мати місце співвідношення і f(x)–ab → b. Тоді рівняння y = ax + b буде рівнянням похилої асимптоти. Для дослідження розміщення кривої відносно асимптоти необхідно розглянути випадки прямування х до +∞ і до –∞. Якщо різниця f(х)–(ax+b) додатна, то крива буде розташована над асимптотою, якщо від’ємна, то під асимптотою.

Приклад 6. Знайти асимптоти функції . Функція визначена на всій осі абсцис, за винятком точки x = –1. Коренем (нулем) функції є точка x = 0. Вертикальною асимптотою є пряма x = –1, причому y→+∞ при x→–1 з правого боку і y→–∞ при x→–1 з лівого боку. Оскільки при x → ±∞, то а = 1. Далі, f(x)–ax=f(x)-x при x → ±∞, тобто b = –1 і асимптотою функції є пряма y = x – 1.

Точку x = a називають точкою максимуму функції y = f(x), якщо для будь-яких х з деякого околу точки а виконується нерівність f(x) ≤ f(a). Точку x = a називають точкою мінімуму функції y = f(x), якщо для будь-яких х з деякого околу точки а виконується нерівність f(x) ≥ f(a).

Точки максимуму та мінімуму мають загальну назву точок екстремуму. Задача пошуку точок екстремуму є найбільш складним етапом дослідження функцій. Слід зазначити, що в області визначення функції її максимум (мінімум) і найбільше (найменше) значення не завжди співпадають.

Приклад 7. Функція y = x³–3x, що визначена на множині [–2,1; 2,1], має точку максимуму х = –1, де у = 2, точку мінімуму х = 1, де у = –2. Але її найбільше значення в області визначення дорівнює у = 2,961 при х = 2,1, а найменше у = –2,961 при х = –2,1.

Функцію y = f(x) називають періодичною з періодом T≠0, якщо для будь-якого х з її області визначення значення функції в точках х і х+Т рівні, тобто f(x) = f(x+T).

Приклад 8. Основні тригонометричні функції sinx i cosx періодичні з періодом 2π, оскільки sinx = sin(x+2π), cosx = cos(x+2π), а функції tgx і сtgx періодичні з періодом π.

Справедливе твердження: для побудови графіку періодичної функції з періодом Т достатньо провести побудову на відрізку [0; T], а потім отриману криву перенести паралельно на відстань nT впродовж осі х, де n – будь-яке ціле число.

Під час дослідження функцій і побудови їх графіків велике значення має знання точок перетину кривої y = f(x) з осями координат. З віссю ординат графік перетинається в точці (0; f(0)). Для пошуку ж точок перетину графіку з віссю абсцис необхідно розв’язати рівняння f(x) = 0. Тут зручно застосовувати графічний метод, суть якого полягає у накресленні графіку функції і вимірюванні відстані між віссю ординат та точками перетину графіку з віссю абсцис. Тобто за допомогою лінійки можна отримати наближені значення коренів.

На завершення розділу для допитливих пропонуємо кілька завдань на тему побудови графіків.

1. Як побудувати графік функції y = |f(x)|, якщо графік функції y = f(x) відомий?

2. Як побудувати графік функції y = f(|x|), якщо графік функції y = f(x) відомий?

3. Для яких х графік функції y = f²(x) лежить над графіком функції y = f(x), а для яких – під цим графіком; для яких х графіки збігаються?

4. Запропонуйте таку функцію y = f(x), для якої графік y = f(ax) походить від графіку функції шляхом зсуву його паралельно осі у.

5. Як, знаючи графік функції y = f(x), побудувати графіки функцій: y = f(x)–f(–x), y = f(x)+f(–x)?

А.О. Антонюк, кандидат фізико-математичних наук, доцент Національного університету державної податкової служби України